6.1. Прямая пропорциональность

Определения и обозначения

Прямая пропорциональность — зависимость, задаваемая формулой y = kx, где k — постоянное ненулевое число. Это значит, что значение y получается умножением x на одно и то же число. Такая запись помогает узнать, как две величины связаны между собой.

Коэффициентом прямой пропорциональности называют число k в формуле y = kx. Он показывает, во сколько раз меняется y при изменении x в одинаковое число раз. Зная k, можно вычислить значение функции и понять направление её графика.

Функция прямой пропорциональности — функция, значения которой связаны равенством y = kx. Функцией называют правило, которое каждому допустимому значению x ставит в соответствие значение y. Эта формула позволяет находить y для выбранного x и сравнивать значения величин.

График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. По графику можно увидеть связь между x и y, а также определить знак и величину коэффициента. Для построения достаточно знать две точки прямой.

Как это устроено

Формула y = kx задаёт прямую пропорциональность, потому что отношение y к x при x ≠ 0 остаётся постоянным: y / x = k. Если x увеличить, например, в три раза, то и произведение kx, а значит и y, увеличится в три раза. Чтобы найти значение функции, подставь заданное x в формулу и выполни умножение на k.

Знак коэффициента определяет направление изменения функции. При k > 0 увеличение x приводит к увеличению произведения kx, поэтому функция возрастает. При k < 0 увеличение x делает произведение более отрицательным или уменьшает его положительное значение, поэтому функция убывает.

График проходит через начало координат не случайно: если в формулу подставить x = 0, получится y = k · 0 = 0. Значит, точка с координатами (0; 0) всегда принадлежит графику. Это можно проверить подстановкой нуля и отличить график прямой пропорциональности от прямой, которая через начало координат не проходит.

Чтобы построить график y = kx, сначала отметь начало координат. Затем выбери удобное значение x, вычисли соответствующее y и отметь полученную точку. Через две отмеченные точки проведи прямую: двух точек достаточно, потому что через любые две разные точки проходит ровно одна прямая.

По графику можно определить знак k по направлению прямой: если она поднимается слева направо, коэффициент положительный, а если опускается — отрицательный. Чтобы найти его значение, выбери точку (x; y) на прямой, кроме начала координат, и вычисли k = y / x. Наклон тоже даёт подсказку: чем круче прямая, тем больше модуль k, а чем она положе, тем меньше модуль.

Свойства функции y = kx при разных значениях коэффициента

Сначала найди столбец, соответствующий знаку коэффициента, а затем используй строку с нужной характеристикой. Например, по знаку сразу можно определить направление изменения функции и четверти, в которых расположена прямая. Чтобы сравнить крутизну двух графиков, сравни модули их коэффициентов.

В таблице k не может быть равно нулю, поэтому у обеих функций область определения и множество значений — все действительные числа. Для каждого значения x находится ровно одно y, а каждое действительное значение y можно получить при подходящем x. Отличаются графики со знаками k, прежде всего, направлением наклона.

Разбор задач

1. Определить вид функции и коэффициент

Условие: определить, является ли функция y = −3x прямой пропорциональностью, и назвать её коэффициент. Сравним запись с формулой y = kx. Важно проверить, что множитель при x постоянный и ненулевой.

1. Сопоставим выражение −3x с kx.
2. Получаем k = −3; это постоянное число, причём k ≠ 0.
3. Значит, функция является прямой пропорциональностью, а её коэффициент равен −3.

Ответ: да, функция y = −3x — прямая пропорциональность; k = −3. Отрицательный знак также показывает, что функция убывает. Если бы в формуле было дополнительное слагаемое, её нельзя было бы записать в виде y = kx.

2. Построить график и найти значение функции

Условие: построить график y = 2x и найти y при x = −1,5. Подставим заданное x, чтобы вычислить значение функции. Для построения используем начало координат и ещё одну точку, найденную по формуле.

1. При x = 0 получаем y = 2 · 0 = 0, то есть точку (0; 0).
2. Выберем x = 1: y = 2 · 1 = 2, значит, отмечаем точку (1; 2).
3. Проведём через эти точки прямую; теперь подставим x = −1,5: y = 2 · (−1,5) = −3.

Ответ: график проходит через точки (0; 0) и (1; 2), а при x = −1,5 значение y равно −3. Проверка по графику тоже возможна: точка (−1,5; −3) должна лежать на построенной прямой. Это согласуется с тем, что при положительном k функция возрастает.

3. Задача о стоимости товара

Условие: стоимость товара прямо пропорциональна его массе; за 3 кг заплатили 450 рублей. Нужно найти стоимость 7 кг. Обозначим массу через x, а стоимость через y, тогда y = kx. Коэффициент k здесь означает цену одного килограмма.

1. Найдём цену килограмма: k = 450 / 3 = 150 рублей за килограмм.
2. Запишем зависимость стоимости от массы: y = 150x.
3. Подставим массу 7 кг: y = 150 · 7 = 1050 рублей.

Ответ: 7 кг товара стоят 1050 рублей. Сначала мы нашли постоянную цену единицы массы, а затем умножили её на нужную массу. Такой способ работает, пока стоимость действительно прямо пропорциональна массе и цена за килограмм не меняется.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать y = k + x или y = x + k вместо y = kx. Так происходит, когда прямую пропорциональность путают с линейной функцией общего вида. Проверь себя: неизвестные должны быть связаны умножением, а не сложением.

Ошибка: считать любую прямую графиком прямой пропорциональности. Прямую пропорциональность задаёт y = kx, поэтому её график обязан проходить через (0; 0). Чтобы проверить график, посмотри, находится ли начало координат на этой прямой.

Ошибка: неверно определять знак k по графику. Иногда смотрят только на то, где расположена прямая, и забывают проследить её направление слева направо. Если она поднимается — k положителен, если опускается — отрицателен.

Ошибка: находить коэффициент по формулам k = y + x или k = x / y. Коэффициент получается из равенства y = kx делением обеих частей на x, поэтому k = y / x при x ≠ 0. Проверь себя подстановкой: умножение найденного k на x должно дать исходное y.

Связь с другими темами

Для изучения прямой пропорциональности понадобятся координатная плоскость, понятие функции, формула линейной функции и умение строить график по точкам. Если эти навыки уже освоены, новую формулу можно сразу связать с графиком и числовыми значениями. Главное отличие от линейной функции общего вида — отсутствие свободного слагаемого.

Дальше эта тема поможет изучать линейные функции и системы уравнений, а также решать задачи на пропорции, масштабы и зависимости величин. Например, постоянная цена за килограмм или расстояние при постоянной скорости описываются прямой пропорциональностью. Коэффициент в таких задачах часто имеет понятный смысл: цена единицы товара или скорость.

Что запомнить

• Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx, где k ≠ 0.
• Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.
• График функции y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает.
• Для построения графика достаточно отметить начало координат и ещё одну точку.
• Коэффициент можно найти по формуле k = y / x при x ≠ 0.
• Модуль коэффициента определяет крутизну графика.

Для наглядного сравнения графиков посмотри, как меняются их направление и крутизна при разных коэффициентах.