5.2.1. Прямая пропорциональность

Определения и обозначения

Прямая пропорциональность — зависимость величин, задаваемая формулой y = kx, где k — постоянное ненулевое число. Буква x обозначает независимую величину, а y зависит от неё. Такая запись нужна, чтобы вычислять одно значение по другому и видеть точное правило их связи.

Коэффициент пропорциональности — число k в формуле y = kx. Он показывает, во сколько раз y отличается от x, а его знак указывает на направление изменения зависимости. Зная k, можно быстро находить значения y для разных x.

Прямо пропорциональные величины — величины x и y, связанные равенством y = kx при постоянном k. Иначе говоря, при изменении x во столько же раз изменяется и y, если сравнивать их отношения. Это понятие помогает описывать ситуации, где связь величин сохраняет одно и то же правило.

График прямой пропорциональности — прямая, задающая зависимость y = kx и проходящая через начало координат. Каждая точка этой прямой показывает пару подходящих значений x и y. График удобен тем, что по нему можно оценить или найти значение одной величины по другой.

Как это устроено

Если отношение y/x постоянно и равно k, то y/x = k. Умножим обе части равенства на x и получим y = kx; деление допустимо при x ≠ 0, а найденная формула затем работает и при x = 0. Коэффициент k не меняется вместе с x, потому что он задаёт постоянное правило связи, а не значение одной из величин.

Подставим в формулу x = 0: тогда y = k · 0 = 0. Поэтому пара чисел (0; 0) всегда подходит формуле, а на координатной плоскости ей соответствует начало координат. График зависимости — прямая, и раз на ней есть начало координат, она обязательно проходит через эту точку.

Чтобы построить график y = kx, сначала выбери два значения x и для каждого вычисли y по формуле. Например, при y = 2x можно взять x = 0 и x = 1: получатся точки (0; 0) и (1; 2). Отметь их на координатной плоскости и проведи через них прямую; если расчёты верны, остальные пары значений тоже лежат на ней.

Знак k определяет, как меняется y при увеличении x. При k > 0 произведение kx увеличивается вместе с x, поэтому функция возрастает, а прямая поднимается слева направо. При k < 0 произведение уменьшается при увеличении x, функция убывает, и прямая идёт вниз слева направо.

Если известна точка (x; y) на графике и x ≠ 0, подставь её координаты в y = kx. Разделив обе части на x, получишь k = y/x. Отношение одинаково для любой ненулевой по первой координате точки прямой, потому что все её точки удовлетворяют одной формуле.

Свойства функции y = kx

Сначала найди знак коэффициента в формуле, затем прочитай соответствующий столбец. Область определения — все допустимые значения x, а множество значений — все значения y, которые получаются. Начало координат лежит на обеих прямых, поэтому при описании четвертей указывают, по обе стороны от него проходит график.

Разбор задач

Задача 1

Величины x и y прямо пропорциональны. При x = 3 значение y равно 12. Найдите коэффициент пропорциональности и y при x = 5. Сначала используем известную пару значений, чтобы определить постоянное правило связи. Затем применим найденное правило к новому значению x.

1. Запишем формулу прямой пропорциональности: y = kx.
2. Подставим x = 3 и y = 12: 12 = 3k, поэтому k = 12/3 = 4.
3. Для x = 5 вычислим y = 4 · 5 = 20.

Коэффициент равен 4, значит, y в четыре раза больше x. Подстановка x = 5 даёт значение y = 20. Ответ: k = 4; y = 20.

Задача 2

Постройте график функции y = −2x и определите по нему значение y при x = 1,5. Коэффициент отрицательный, поэтому график должен убывать. Для построения используем начало координат и ещё несколько удобных точек, чтобы легче проверить линию.

1. Составим таблицу значений: при x = 0 получаем y = 0, при x = 1 получаем y = −2, при x = −1 получаем y = 2.
2. Отметим точки (0; 0), (1; −2) и (−1; 2) на координатной плоскости и проведём через них прямую.
3. Для x = 1,5 вычислим y = −2 · 1,5 = −3; на графике это точка (1,5; −3).

Полученная прямая проходит через начало координат и убывает слева направо, что согласуется со знаком k. При x = 1,5 значение y равно −3. Ответ: y = −3.

Задача 3

График прямой пропорциональности проходит через точку (−4; 10). Найдите формулу зависимости и значение x, при котором y = −5. Координаты заданной точки подчиняются формуле y = kx, поэтому по ним можно найти коэффициент. После этого останется решить уравнение с одним неизвестным.

1. Найдём коэффициент: k = y/x = 10/(−4) = −2,5.
2. Запишем формулу зависимости: y = −2,5x.
3. Подставим y = −5: −5 = −2,5x, откуда x = (−5)/(−2,5) = 2.

Формула должна давать точку (−4; 10): −2,5 · (−4) = 10, проверка верна. При y = −5 получается x = 2. Ответ: y = −2,5x; x = 2.

Типичные ошибки

Ошибка — считать прямой пропорциональностью любую линейную формулу y = kx + b. Так думают, потому что обе зависимости задают прямую, но при b ≠ 0 график не проходит через начало координат. Проверь свободный член: для прямой пропорциональности формула должна иметь вид y = kx, где k ≠ 0.

Иногда коэффициент k путают с отношением x/y. В формуле y = kx нужно разделить обе части на x, поэтому k = y/x, а не наоборот. Для проверки возьми известные x и y, найди k и подставь в формулу: она должна вернуть исходное значение y.

Нельзя строить прямую по одной точке: через одну точку можно провести много разных прямых. Начало координат уже известно, но нужна ещё хотя бы одна точка, полученная по формуле. Отметь обе точки и проверь, что каждая из них удовлетворяет равенству y = kx.

Ещё одна ошибка — считать, что график всегда возрастает. Это верно лишь при k > 0; отрицательный коэффициент означает, что при увеличении x значение y уменьшается. Перед построением проверь знак k и убедись, что направление проведённой прямой ему соответствует.

Связь с другими темами

Для работы с прямой пропорциональностью нужны навыки чтения координатной плоскости, подстановки чисел в формулу и нахождения отношения двух чисел. Она связана с линейной функцией: y = kx — её частный случай, когда свободный член равен нулю. Знание темы помогает решать задачи на пропорциональные величины и строить графики. Эти умения пригодятся при дальнейшем изучении линейной функции.

Что запомнить

• Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx, где k ≠ 0.
• При прямой пропорциональности отношение y/x постоянно и равно k.
• График y = kx — прямая, проходящая через начало координат.
• Для построения графика достаточно двух точек, одна из которых — (0; 0).
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает.
• Коэффициент k можно найти по любой ненулевой точке графика: k = y/x.