§ 2. Линейные процессы и линейная функция

Определения и обозначения

Линейный процесс — процесс, в котором за равные промежутки времени величина изменяется на одно и то же число. Например, при постоянной скорости 12 км/ч велосипедист каждый час проезжает 12 км. Такое определение помогает узнавать ситуации, которые можно описать простой формулой.

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где k и b — числа. Каждому допустимому значению x по этой формуле соответствует ровно одно значение y. Формула нужна, чтобы быстро находить зависимые величины и строить их график.

Коэффициент k — число, стоящее при x в формуле y = kx + b. Он показывает, на сколько изменяется y, если x увеличить на единицу. Поэтому k называют коэффициентом наклона: по нему можно определить направление и крутизну прямой.

Коэффициент b — свободный член формулы y = kx + b. При x = 0 получаем y = b, поэтому b показывает начальное значение величины и место пересечения графика с осью y. Это помогает сразу найти одну важную точку прямой.

Как это устроено

Пусть величина в начальный момент равна b, а за каждую единицу времени изменяется на k. Через одну единицу она станет b + k, через две — b + 2k, а через x единиц — b + kx. Поэтому её значение записывается формулой y = kx + b: b отвечает за старт, а kx — за накопившееся изменение.

Так получается и при убывании величины: тогда k отрицательно, и к начальному значению прибавляется отрицательное число. Например, если температура каждый час уменьшается на 3 °C и сначала равна 10 °C, то y = 10 − 3x. Постоянный прирост или убыль и превращает зависимость в линейную.

Для любых двух значений x разность соответствующих значений функции равна k умножить на разность x: Δy = kΔx. Значит, если пройти по оси x одинаковое расстояние, по вертикали всегда получится одинаковое изменение. Постоянный наклон не может давать изгиб, поэтому график линейной функции является прямой.

Знак k определяет направление прямой: при k > 0 она поднимается слева направо, а при k < 0 опускается. Чем больше |k|, тем круче наклон; при k = 0 получается горизонтальная прямая. Число b задаёт точку пересечения с осью y: это точка (0; b), поэтому изменение b сдвигает прямую вверх или вниз.

Чтобы построить график, выберите любые два удобных значения x и подставьте их в формулу. Получите две пары координат, например (x₁; y₁) и (x₂; y₂), и отметьте эти точки на координатной плоскости. Через две точки проведите прямую линейкой; если область определения не ограничена, её продолжают в обе стороны.

Линейная функция y = kx + b и её график

Сначала по таблице определите коэффициенты и направление изменения функции. Затем найдите точку на оси y и ещё одну удобную точку вычислением. Две точки достаточно проверить подстановкой в формулу, после чего через них можно провести всю прямую.

Разбор задач

Задача 1

Велосипедист едет со скоростью 12 км/ч и в начале находится в 3 км от точки отсчёта. Нужно выразить расстояние s через время t. Скорость постоянна, значит расстояние увеличивается на одинаковые 12 км каждый час.

1. Постоянную скорость берём за коэффициент при t: k = 12.
2. Начальное расстояние равно 3 км, поэтому свободный член b = 3.
3. Подставляем эти числа в общий вид и получаем s = 12t + 3.

Ответ: s = 12t + 3, где s измеряется в километрах, а t — в часах. Например, через 2 часа расстояние будет 12 · 2 + 3 = 27 км. При t = 0 формула действительно даёт начальные 3 км.

Задача 2

Дана функция y = 3x − 2. Требуется найти значения при x = 0 и x = 2, а затем построить график. Удобно сразу составить две пары координат для точек прямой.

1. При x = 0: y = 3 · 0 − 2 = −2, получаем точку (0; −2).
2. При x = 2: y = 3 · 2 − 2 = 4, получаем точку (2; 4).
3. Отмечаем точки (0; −2) и (2; 4) и проводим через них прямую.

Ответ: y(0) = −2, y(2) = 4; график — прямая через точки (0; −2) и (2; 4). Проверка показывает: при увеличении x на 2 значение y увеличилось на 6, то есть на каждую единицу приходится 3. Это совпадает с коэффициентом k.

Задача 3

Прямая проходит через точки (0; 4) и (2; 1), а её формула имеет вид y = kx + b. Нужно найти оба коэффициента и определить характер функции. Начнём с точки, у которой первая координата равна нулю.

1. Из точки (0; 4) следует b = 4.
2. При увеличении x от 0 до 2 значение y изменилось от 4 до 1, то есть на −3. Поэтому k = (1 − 4) : (2 − 0) = −3/2.
3. Подставляем коэффициенты: y = −3/2x + 4. Так как k < 0, функция убывает.

Ответ: y = −3/2x + 4; функция убывающая. Подстановка x = 2 даёт y = −3 + 4 = 1, поэтому вторая точка тоже подходит. Отрицательный коэффициент объясняет, почему прямая идёт вниз слева направо.

Типичные ошибки

Первая ошибка — путать k и b. k стоит при x и отвечает за изменение функции, а b является значением при x = 0. Проверьте себя подстановкой нуля: переменная часть исчезнет, и останется b.

Иногда график считают отрезком, потому что при построении нашли только две точки. Если область определения не ограничена условием, эти точки задают всю прямую, которую нужно продолжить в обе стороны. Ограниченный отрезок появляется только при явно заданных границах x.

Ещё одна ошибка — соединять найденные точки кривой. Формула y = kx + b даёт постоянный наклон, поэтому график прямой и точки соединяют линейкой. Для проверки возьмите третье значение x: оно должно попасть на ту же прямую.

Можно ошибиться со знаком наклона и перепутать возрастание с убыванием. Если k > 0, при движении вправо график поднимается, а если k < 0 — опускается. Быстрая проверка: увеличьте x на 1 и посмотрите, прибавляется или вычитается число.

Связь с другими темами

До изучения линейной функции нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения и выполнять действия с ними. Также понадобятся координатная плоскость, запись координат точки и умение строить точки по заданным парам чисел.

Линейная функция используется при изучении систем линейных уравнений и графического решения уравнений. Она помогает описывать зависимости в задачах о движении, стоимости, температуре и других величинах, которые изменяются с постоянной скоростью.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• Коэффициент k показывает изменение y при увеличении x на единицу.
• Коэффициент b равен значению функции при x = 0.
• График линейной функции — прямая.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает.
• Для построения прямой достаточно найти две точки её графика.