37. Прямая пропорциональность

Определения и обозначения

Прямая пропорциональность — функция, заданная формулой y = kx, где x — независимая переменная, а k — некоторое число. Независимая переменная x может принимать разные значения, а формула для каждого из них задаёт значение y. Такая запись нужна, когда одна величина меняется вместе с другой по одному и тому же правилу: y всегда получается умножением x на постоянное число.

Коэффициент пропорциональности k — число, на которое умножают x, чтобы получить значение y. Например, в формуле y = 3x коэффициент равен 3. Он не меняется при изменении x: если подставить вместо x другое число, множителем всё равно останется 3. Коэффициент помогает понять, как связаны величины, и определить направление графика.

График прямой пропорциональности — график функции y = kx; при k ≠ 0 он является прямой, проходящей через начало координат. График показывает на координатной плоскости, какие пары значений x и y связаны формулой. Зная его, можно увидеть, как изменяется функция, и проверить, подходит ли конкретная точка.

Как это устроено

Формула y = kx задаёт прямую пропорциональность, потому что каждому значению x соответствует произведение x на одно и то же число k. Когда x меняется, значение y тоже меняется, но способ вычисления остаётся прежним. Например, при k = 2 значения y всегда вдвое больше соответствующих значений x. Именно постоянство множителя отличает эту зависимость от случаев, где правило изменения меняется.

График проходит через начало координат, потому что при x = 0 произведение k · 0 равно нулю. Следовательно, пара координат (0; 0) удовлетворяет формуле при любом k. Чтобы построить график, отметь эту точку и найди ещё одну: выбери удобное значение x, вычисли y и поставь точку (x; y). Через две разные точки можно провести единственную прямую, поэтому этих данных достаточно.

Знак коэффициента определяет, в какую сторону направлен график. Если k > 0, то при увеличении x произведение kx увеличивается, поэтому функция возрастает. Если k < 0, увеличение x приводит к уменьшению произведения: например, при k = −2 переход от x = 1 к x = 2 меняет y с −2 на −4. Поэтому график функции с отрицательным коэффициентом убывает.

Чем больше модуль коэффициента k, тем круче наклон графика к оси x: одинаковое изменение x вызывает большее изменение y. Например, при x = 1 коэффициенты 2 и 0,5 дают значения y, равные 2 и 0,5, поэтому график y = 2x наклонён круче, чем график y = 0,5x. Если коэффициенты имеют противоположные знаки, прямые направлены в разные стороны относительно оси x. Это видно и по значениям функции: при одном и том же положительном x одно значение y будет положительным, а другое отрицательным.

Проверить, принадлежит ли точка графику, можно подстановкой её координат в равенство y = kx. Координату x подставляют вместо x, а координату y — вместо y, после чего вычисляют обе части. Если они равны, координаты точки подходят формуле. Если получились разные числа, точка на графике не лежит.

Свойства прямой пропорциональности y = kx

Сначала найди в таблице условие, которое дано в задаче, например знак коэффициента или значение x. Затем используй характеристику в правом столбце, чтобы определить свойство функции или проверить ответ. Если k = 0, формула задаёт y = 0, и график совпадает с осью x; это исключение из условия k ≠ 0.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график функции y = 2x.

Для построения нужны координаты двух точек, принадлежащих графику. Начало координат уже подходит, так как при x = 0 значение y равно нулю. Вторую точку удобно получить, выбрав небольшое значение x, например 1, и вычислив соответствующее y.

1. При x = 0: y = 2 · 0 = 0, получаем точку (0; 0).
2. При x = 1: y = 2 · 1 = 2, получаем точку (1; 2).
3. Отметьте обе точки на координатной плоскости и проведите через них прямую.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; 2).

Задача 2. Определите, принадлежит ли точка A(−3; 6) графику функции y = −2x.

Чтобы проверить точку, подставим её координаты в формулу. Если точка лежит на графике, значение y должно совпасть с результатом умножения −2 на координату x. Поэтому сравним данную координату y с вычисленным значением.

1. Подставьте x = −3 в правую часть: −2 · (−3) = 6.
2. Сравните полученный результат с координатой y точки A: она тоже равна 6.
3. Равенство y = −2x выполняется, значит, координаты точки подходят функции.

Ответ: точка A(−3; 6) принадлежит графику функции y = −2x.

Задача 3. График прямой пропорциональности проходит через точку B(4; −10). Найдите коэффициент пропорциональности и запишите формулу функции.

Так как точка лежит на графике, её координаты удовлетворяют формуле y = kx. Подставим известные x и y, а затем найдём неизвестный коэффициент k. Значение x равно 4, поэтому разделить обе части уравнения на x можно.

1. Подставьте координаты точки: −10 = 4k.
2. Разделите обе части равенства на 4: k = −10 / 4 = −2,5.
3. Подставьте найденный коэффициент в формулу прямой пропорциональности: y = −2,5x.

Ответ: k = −2,5; формула функции — y = −2,5x.

Типичные ошибки

Не всякая прямая является графиком прямой пропорциональности: она обязательно должна проходить через начало координат, если k ≠ 0. Ошибку допускают, когда смотрят только на форму графика и не проверяют его положение. Проверь точку (0; 0): если прямая через неё не проходит, формула y = kx ей не соответствует.

Коэффициент k — не координата x или y, а постоянный множитель в формуле. Его могут спутать с координатами точки, особенно если числа похожи. Если известна точка с x ≠ 0, найди k по отношению y к x и проверь результат подстановкой в y = kx.

При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает; перепутать это легко, если смотреть только на знак числа и не представить изменение значений. Проверь на двух значениях x: выбери сначала 1, затем 2 и вычисли y. Увеличение y означает возрастание, уменьшение — убывание.

Для построения нельзя отмечать только одну точку: через неё можно провести бесконечно много прямых. Эту ошибку допускают, полагая, что точки начала координат достаточно, ведь она известна заранее. Найди по формуле ещё одну точку с другими координатами, отметь обе и только затем проводи прямую.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь подставлять числа в формулу и вычислять произведения. Также важно уметь отмечать на координатной плоскости точки с заданными координатами: эти навыки понадобятся для построения графика и проверки точек.

Прямая пропорциональность связана с линейной функцией и является её частным случаем: в формуле линейной функции свободный член равен нулю. Это помогает увидеть, как более простая зависимость входит в общую тему функций и их графиков.

Такую зависимость используют, когда величины связаны постоянным отношением. Например, при постоянной скорости путь равен произведению скорости на время, поэтому при фиксированной скорости путь прямо пропорционален времени. Эта модель помогает описывать реальные ситуации с помощью формул.

Что запомнить

• Прямая пропорциональность задаётся формулой y = kx.
• Число k называют коэффициентом пропорциональности.
• График при k ≠ 0 — прямая, проходящая через начало координат.
• При k > 0 функция возрастает.
• При k < 0 функция убывает.
• Чтобы построить график, достаточно найти две точки.