§ 6. Линейная функция

Определения и обозначения

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — числа. Такая запись позволяет по каждому значению x однозначно вычислить y. Она используется для описания равномерно изменяющихся величин.

Коэффициент k называют угловым коэффициентом. Он показывает, как изменяется значение функции при увеличении x на единицу. По знаку и величине k можно судить о направлении и наклоне графика.

Свободный член b — значение функции при x = 0. Поэтому график проходит через точку (0; b) на оси y. Число b помогает определить вертикальное положение прямой.

График линейной функции — прямая, на которой лежат точки с координатами (x; y), удовлетворяющими равенству y = kx + b. График наглядно показывает, как связаны x и y. По нему можно находить значения функции и её нули.

Как это устроено

Пусть x увеличился на 1. Было y₁ = kx + b, а стало y₂ = k(x + 1) + b = kx + k + b. Поэтому y₂ − y₁ = k: свободный член и прежнее значение x сокращаются. Изменение y всегда одинаково и не зависит от выбранной точки.

Чтобы построить график, достаточно найти две точки по формуле. Обе точки удовлетворяют одному и тому же правилу, а через любые две различные точки проходит единственная прямая. Значит, все остальные точки функции окажутся на этой прямой, поэтому третью и следующие точки вычислять необязательно.

Знак k определяет направление графика. При k > 0 с ростом x значение y увеличивается, поэтому прямая поднимается слева направо. При k < 0 y уменьшается, и прямая опускается; если k = 0, слагаемое kx исчезает, а график становится горизонтальным.

Свободный член b отвечает за вертикальное положение графика, потому что при x = 0 получаем y = b. Если увеличить b, каждая точка прямой поднимется на одну и ту же величину; если уменьшить, прямая опустится. Наклон при этом не меняется, так как k остаётся прежним.

Для точки пересечения с осью x нужно использовать её главное свойство: на этой оси y = 0. Подставляем это значение в формулу и решаем kx + b = 0. При k ≠ 0 получаем x = −b/k, а при k = 0 функция постоянна: если b ≠ 0, график не пересекает ось x, если b = 0, он совпадает с ней.

Как коэффициенты линейной функции определяют её график

Сначала определите знак k, чтобы понять направление прямой. Затем посмотрите на b: оно сразу даёт точку на оси y. Если k ≠ 0, по последней строке можно найти нуль функции и вторую удобную точку.

Разбор задач

Задача 1

Для функции y = 3x − 2 найдите значения y при x = 0 и x = 2. Здесь даны два значения аргумента, поэтому каждое нужно отдельно подставить в формулу. Следите за знаком свободного члена: в выражении стоит −2.

1. При x = 0 получаем y = 3 · 0 − 2 = −2.
2. При x = 2 получаем y = 3 · 2 − 2 = 6 − 2 = 4.

Ответ: при x = 0 значение y равно −2, при x = 2 значение y равно 4.

Задача 2

Постройте график функции y = −2x + 4 и найдите его пересечения с осями координат. Удобно получить одну точку на оси y, положив x = 0, и одну точку на оси x, положив y = 0. Этих двух точек достаточно для проведения прямой.

1. При x = 0: y = −2 · 0 + 4 = 4, получаем точку (0; 4).
2. Для пересечения с осью x решаем 0 = −2x + 4, откуда 2x = 4 и x = 2. Получаем точку (2; 0).
3. Отмечаем точки (0; 4) и (2; 0), затем проводим через них прямую.

Ответ: график проходит через точки (0; 4) и (2; 0); пересечения с осями — (0; 4) и (2; 0).

Задача 3

Найдите k и b, если график проходит через точки (1; 5) и (3; 1). Координаты каждой точки должны удовлетворять формуле y = kx + b. Поэтому подставим их и составим систему.

1. Для первой точки: k + b = 5.
2. Для второй точки: 3k + b = 1.
3. Вычитаем первое уравнение из второго: 2k = −4, значит k = −2.
4. Подставляем k в первое уравнение: −2 + b = 5, поэтому b = 7.

Ответ: k = −2, b = 7; формула функции — y = −2x + 7.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что k задаёт пересечение с осью y. Так происходит из-за того, что оба числа находятся в одной формуле. Проверьте себя подстановкой x = 0: получится y = b, значит именно b задаёт эту точку, а k отвечает за наклон.

Ошибка: строить график по одной точке. Через одну точку можно провести множество разных прямых, поэтому направление определить нельзя. Найдите минимум две различные точки и убедитесь, что обе удовлетворяют формуле.

Ошибка: путать оси при поиске пересечений. На оси x координата y равна 0, а на оси y координата x равна 0. Перед вычислением подпишите, какую координату нужно приравнять к нулю.

Ошибка: находить нуль функции как b/k. В уравнении kx + b = 0 сначала перенесите b: kx = −b, поэтому x = −b/k при k ≠ 0. Подставьте найденное число обратно и проверьте, получилось ли y = 0.

Связь с другими темами

До изучения линейной функции нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения, решать линейные уравнения и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки нужны при вычислении значений, построении графика и поиске его пересечений с осями.

Линейная функция станет основой для систем линейных уравнений и их графического решения. Она также помогает описывать зависимости между величинами, которые изменяются с постоянной скоростью, например путь при равномерном движении.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Коэффициент k показывает изменение y при увеличении x на 1.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает.
• При k = 0 функция постоянна, а её график горизонтален.
• График пересекает ось y в точке (0; b).
• Если k ≠ 0, нуль функции равен −b/k.