"Алгебра", Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В.
Линейная функция задаёт зависимость одной величины от другой формулой y = kx + b. Она помогает описывать ситуации, где при одинаковом изменении x значение y меняется на одинаковую величину. Её график всегда прямая, поэтому для построения достаточно найти две точки. Коэффициент k показывает направление и крутизну прямой, а число b — место, где она пересекает ось y. Понимая эти свойства, можно быстро строить графики и читать их.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная функция — функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — числа. Независимая переменная может принимать разные значения, и каждому из них соответствует значение y. Такая запись позволяет увидеть общий вид зависимости и рассчитывать её для разных x. Например, формула y = 2x − 3 задаёт линейную функцию.
Коэффициент k — число, на которое умножается x. Его знак показывает направление изменения функции: положительное значение соответствует возрастанию, отрицательное — убыванию. Модуль числа k, то есть его величина без учёта знака, связан с крутизной графика. Поэтому по k можно заранее понять, в какую сторону направлена прямая и насколько она наклонена.
Свободный член b — слагаемое, в котором нет x. Если подставить x = 0 в формулу y = kx + b, произведение kx станет равным нулю, и останется y = b. Значит, b показывает значение функции при нулевом x. Это нужно, чтобы сразу находить точку пересечения графика с вертикальной осью.
График линейной функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; kx + b). Каждая такая точка показывает пару значений, связанных формулой: выбранное x и полученное y. Если отмечать эти пары, они располагаются на одной прямой. Это позволяет изображать всю зависимость на плоскости и считывать значения по графику.
Чтобы найти значение функции по формуле y = kx + b, вместо x подставляют заданное число и выполняют вычисления. Например, при x = 2 в формуле y = 3x − 1 получаем y = 3 · 2 − 1 = 5. Подстановка нужна потому, что формула задаёт правило, связывающее каждое значение x с соответствующим y. Если в вычислениях встречается отрицательное число, его важно подставлять в скобках.
График линейной функции — прямая, а через две различные точки можно провести только одну прямую. Поэтому для построения достаточно выбрать два значения x, вычислить соответствующие y и отметить полученные точки. После этого точки соединяют линейкой и продолжают прямую в обе стороны. Третья точка может пригодиться для проверки, но для определения прямой она не обязательна.
При x = 0 формула y = kx + b превращается в y = b, поэтому точка графика имеет координаты (0; b). У всех точек на оси y первая координата равна нулю, значит, именно эта точка показывает пересечение графика с осью y. Например, при b = −2 прямая пересекает вертикальную ось на отметке −2. Это позволяет найти одну точку графика сразу, не подбирая значение x.
Направление прямой определяется знаком k, потому что k задаёт, как меняется y при увеличении x. Если k > 0, произведение kx растёт вместе с x, поэтому функция возрастает; если k < 0, значение функции уменьшается, и она убывает. Величина наклона зависит от |k|: чем оно больше, тем сильнее меняется y при том же шаге по x и тем круче выглядит прямая. Свободный член b сдвигает прямую вверх или вниз, но не меняет её направление.
Если k = 0, слагаемое kx исчезает, и для любого x остаётся одно и то же значение y = b. Поэтому график становится горизонтальной прямой, а функция называется постоянной. Если b = 0, формула принимает вид y = kx: при x = 0 получаем y = 0, так что график проходит через начало координат. Эти частные случаи помогают быстро распознавать особенности графика по формуле.
| Условие | Что происходит с функцией | Что видно на графике |
|---|---|---|
| k > 0 | Функция возрастает | Прямая поднимается слева направо |
| k < 0 | Функция убывает | Прямая опускается слева направо |
| k = 0 | Функция принимает постоянное значение b | Горизонтальная прямая y = b |
| b = 0 | Функция имеет вид y = kx | График проходит через начало координат |
| x = 0 | y = b | Точка пересечения с осью y — (0; b) |
Сначала найдите в формуле значения k и b, затем выберите подходящую строку таблицы. Условия относятся к разным особенностям функции, поэтому у одного графика могут одновременно выполняться несколько строк. Например, при k > 0 и b = 0 прямая возрастает и проходит через начало координат.
Для функции y = 2x − 3 найдите значения y при x = 0 и x = 2 и постройте график. Нужно получить две пары координат: сначала подставить оба значения x, а затем использовать точки для проведения прямой. Подстановка x = 0 особенно удобна, потому что сразу показывает пересечение с осью y. Проверим вычисления по формуле.
Ответ: y(0) = −3, y(2) = 1; график — прямая через точки (0; −3) и (2; 1). Коэффициент k равен 2, поэтому прямая поднимается слева направо. Точка с x = 0 лежит на оси y.
Не строя график полностью, определите, возрастает или убывает функция y = −3x + 1, и укажите точку пересечения графика с осью y. В этой формуле коэффициент при x равен −3, а свободный член равен 1. Для ответа о направлении достаточно определить знак первого числа. Пересечение с осью y находим, положив x равным нулю.
Ответ: функция убывает, график пересекает ось y в точке (0; 1). Знак b не определяет направление прямой: за возрастание и убывание отвечает k. Число 1 показывает, на какой высоте прямая пересекает вертикальную ось.
График линейной функции проходит через точки (0; −2) и (2; 4). Найдите формулу функции. Ищем её в виде y = kx + b, поэтому сначала используем точку с нулевой первой координатой. Она сразу даёт значение b, после чего останется найти k по второй точке. В конце подставим обе точки для проверки.
Ответ: y = 3x − 2. Проверка для x = 0 даёт y = −2, а для x = 2 — y = 4, как и указано в условии. Значит, формула проходит через обе заданные точки.
Ошибка: считать b коэффициентом при x. Это происходит потому, что оба числа стоят в одной короткой формуле и их роли легко перепутать. На самом деле при x стоит k, а b не умножается на переменную. Проверка: подставьте x = 0 — результатом должно стать b.
Ошибка: при построении графика находить только одну точку. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых, поэтому она не определяет график однозначно. Иногда кажется, что достаточно точки пересечения с осью y, но она задаёт только часть информации. Проверьте себя: вычислите координаты ещё одной точки с другим x.
Ошибка: определять возрастание или убывание по знаку b. Это путают, потому что b заметно влияет на положение прямой на плоскости, однако её наклон задаёт k. Сравните коэффициент при x с нулём: положительный k означает возрастание, отрицательный — убывание. Для проверки можно рассмотреть, как меняется y при увеличении x.
Ошибка: считать, что при k = 0 функция не задана или её график исчезает. Если k = 0, в формуле остаётся y = b, а такое значение существует при любом x. Поэтому точки имеют вид (x; b) и лежат на горизонтальной прямой. Подставьте любое число вместо x: если каждый раз получается b, график должен быть горизонтальным.
Для работы с линейной функцией нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения и выполнять действия с отрицательными числами. Также понадобятся координатная плоскость и умение отмечать на ней точки по паре чисел. Тема опирается на понятие функции — правила, которое каждому допустимому значению одной величины ставит в соответствие значение другой. Позже линейные функции помогут изучать графики уравнений, системы линейных уравнений и задачи на линейную зависимость величин.
Как понять, является ли функция линейной?
Проверьте, можно ли записать зависимость в виде y = kx + b, где k и b — числа. Если переменная x входит только в первой степени и не умножается сама на себя, это линейная функция.
Почему график линейной функции — прямая?
При каждом одинаковом увеличении x значение y изменяется на одну и ту же величину, равную произведению k на изменение x. Поэтому точки графика располагаются вдоль прямой.
Как быстро построить график линейной функции?
Выберите два удобных значения x и вычислите для них y по формуле. Отметьте полученные точки на координатной плоскости и проведите через них прямую.
Что показывают коэффициенты k и b?
Коэффициент k определяет направление и крутизну прямой: его знак показывает, возрастает функция или убывает. Свободный член b равен значению функции при x = 0, поэтому график пересекает ось y в точке (0; b).
Может ли график линейной функции быть горизонтальным?
Да, если k = 0, то формула принимает вид y = b. Значение функции не меняется при изменении x, поэтому график — горизонтальная прямая.
§ 5. Линейная функция
