11. Определение линейной функции

Определения и обозначения

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — заданные числа. Она показывает зависимость y от x по простому правилу: к произведению kx прибавляют b. Такой вид позволяет быстро понять свойства функции и построить её график.

Коэффициент k — число, показывающее, как изменяется значение функции при увеличении x на единицу. Если x увеличить на 1, y изменится на k. Поэтому по знаку и величине k можно определить направление и скорость изменения функции.

Свободный член b — значение линейной функции при x = 0. Действительно, y = k · 0 + b = b. Это число помогает найти начальную точку зависимости и пересечение графика с осью y.

График линейной функции — прямая, изображающая все пары значений x и y, связанные формулой y = kx + b. Каждой точке этой прямой соответствует значение функции. График нужен, чтобы видеть зависимость не только по формуле, но и на координатной плоскости.

Как это устроено

Формула y = kx + b состоит из двух частей. Число b не зависит от x и остаётся постоянным, а произведение kx меняется вместе с x. Поэтому значение y складывается из начального постоянного значения и добавки, которая определяется выбранным x.

Коэффициент k определяет изменение функции, потому что при переходе от x к x + 1 произведение kx превращается в kx + k. Свободный член при этом не меняется. Значит, вся функция увеличивается или уменьшается ровно на k.

При x = 0 изменяющаяся часть kx исчезает, и остаётся b. Поэтому точка пересечения графика с осью y имеет координаты (0; b). Чем больше или меньше b, тем выше или ниже расположена прямая относительно начала координат.

График является прямой, потому что одинаковым изменениям x соответствуют одинаковые изменения y. Например, при каждом увеличении x на 1 значение y меняется на одно и то же число k. Точки не изгибаются и не меняют наклон, поэтому лежат на одной прямой.

Знак k определяет направление наклона. Если k > 0, при движении слева направо прямая поднимается, и функция возрастает; если k < 0, прямая опускается, и функция убывает. При k = 0 изменения нет, поэтому получается горизонтальная прямая y = b.

Виды линейной функции и роль коэффициентов

Таблица помогает определить свойства функции по значениям k и b. Сначала проверьте, равен ли нулю каждый коэффициент, затем посмотрите на знак k. Одна и та же функция может подходить сразу под несколько описаний, например быть возрастающей и иметь b = 0.

Разбор задач

Задача 1

Определим, является ли функция y = 3x − 5 линейной, и назовём её коэффициенты. Нужно сравнить данную запись с общим видом y = kx + b. Важно учитывать знак свободного члена: −5 — это именно число b.

1. Записываем формулу в виде y = 3x + (−5).
2. Сравниваем с y = kx + b и получаем k = 3, b = −5.
3. Так как формула имеет нужный вид, функция является линейной.

Ответ: функция линейная; k = 3, b = −5.

Задача 2

Для функции y = −2x + 7 найдём y при x = 3 и определим направление изменения. Сначала подставим известное значение аргумента, а затем посмотрим на знак коэффициента при x. Эти действия решают две разные части задачи.

1. Подставляем x = 3: y = −2 · 3 + 7.
2. Выполняем вычисления: y = −6 + 7 = 1.
3. Коэффициент k = −2 меньше нуля, поэтому функция убывает.

Ответ: при x = 3 значение y равно 1; функция убывает.

Задача 3

Составим формулу, если при x = 0 значение функции равно 4, а при увеличении x на 1 значение y уменьшается на 3. Первое условие сразу задаёт свободный член, второе — коэффициент k. После этого останется подставить найденные числа в общий вид.

1. Из условия y(0) = 4 получаем b = 4.
2. Уменьшение y на 3 означает изменение −3, поэтому k = −3.
3. Подставляем коэффициенты: y = −3x + 4.

Ответ: y = −3x + 4.

Типичные ошибки

Иногда линейную функцию записывают только как y = kx. Так теряют общий случай со свободным членом и забывают, что y = kx — лишь вариант при b = 0. Проверяйте, есть ли в условии постоянная добавка.

Коэффициенты k и b нередко путают местами. k отвечает за изменение функции, а b — за значение при x = 0. Для проверки подставьте x = 0: результат должен быть равен b.

Некоторые неверно определяют направление изменения по знаку числа b. На возрастание влияет только k: при k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает. Сначала найдите коэффициент именно при x.

Любую формулу с буквой x нельзя считать линейной. Выражения с x², дробью, содержащей x в знаменателе, или корнем из x имеют другой вид. Проверьте, удаётся ли представить формулу как kx + b с постоянными k и b.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужны навыки подстановки чисел в формулу, работы с координатами и построения точек на плоскости. Позже эти знания помогут изучать графики прямых, их взаимное расположение и решать уравнения и системы графическим способом. Линейные зависимости встречаются в задачах о равномерном изменении величин, например о движении, стоимости или расходе материалов.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• k и b — постоянные числа.
• b равно значению функции при x = 0.
• При увеличении x на 1 значение y изменяется на k.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает, при k = 0 постоянна.
• График линейной функции — прямая.
• Функция y = kx является частным случаем линейной функции при b = 0.