12. График линейной функции

Определения и обозначения

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где k и b — числа. Переменная x принимает разные значения, а зависимая переменная y показывает результат вычисления по формуле для выбранного x. Такая запись позволяет найти значение y и описать, как оно меняется вместе с x.

График линейной функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют формуле y = kx + b. Каждая точка имеет координаты (x; y): первая соответствует выбранному значению переменной, вторая — результату вычисления. Это определение помогает проверить, принадлежит ли точка графику: достаточно подставить её координаты в формулу.

Коэффициент k — число, которое определяет наклон прямой и направление изменения функции при увеличении x. Например, при положительном k значения y растут, а при отрицательном — уменьшаются. По этому коэффициенту можно предсказать поведение графика, ещё не строя его.

Коэффициент b — значение функции при x = 0, потому что тогда произведение kx равно нулю. Поэтому график пересекает ось y в точке (0; b). Это удобно при построении: одна точка прямой сразу известна по формуле.

Как это устроено

Почему же график y = kx + b получается прямой? Если x увеличить на одно и то же число, например на 1, произведение kx каждый раз изменится на k, а число b останется прежним. Значит, y будет прибавлять или терять одну и ту же величину при каждом таком шаге. Именно постоянное изменение отличает прямую от кривой, у которой шаги по вертикали могут быть разными.

Чтобы построить график по формуле, сначала выбирают несколько удобных значений x. Для каждого из них вычисляют y и записывают результат как пару координат (x; y). Затем отмечают точки на координатной плоскости и проводят через них прямую. Удобные значения помогают избежать дробей и ошибок в вычислениях.

Для построения достаточно двух точек, если у них разные координаты x. Через две различные точки проходит ровно одна прямая, поэтому дополнительных точек для самого построения не требуется. Однако иногда полезно вычислить координаты третьей точки и проверить, лежит ли она на проведённой линии. Если не лежит, стоит перепроверить подстановку, арифметику или отметку точек.

Коэффициент k показывает, как меняется y, когда x увеличивается. При k > 0 значения y растут, и прямая поднимается слева направо; говорят, что функция возрастает. При k < 0 значения y уменьшаются, поэтому прямая опускается, а функция убывает. Если k = 0, произведение kx всегда равно нулю и получается y = b — горизонтальная прямая.

Коэффициент b задаёт значение y при x = 0, поэтому отвечает за пересечение с осью y. Если изменить b, не меняя k, прямая сдвинется вверх или вниз, но её наклон останется тем же. Прямые с одинаковым наклоном и разными точками пересечения с осью y не пересекаются, поэтому они параллельны. Если одинаковы и k, и b, то формулы задают одну и ту же прямую.

Как коэффициенты линейной функции связаны с её графиком

Сначала посмотри на k: его знак подскажет направление прямой, а нулевое значение — что она горизонтальна. Затем найди b, чтобы определить точку пересечения с осью y. Последние две строки помогают увидеть частные случаи: при b = 0 прямая проходит через начало координат, а одинаковый k даёт параллельные прямые, если b различны.

Разбор задач

Построить график функции y = 2x − 1

Выберем такие значения x, чтобы вычисления были простыми, и найдём соответствующие значения y. Для прямой нужны две точки, но третья поможет проверить результат. После вычислений отметим точки и продолжим прямую в обе стороны.

1. Возьмём x = 0: y = 2 · 0 − 1 = −1. Получаем точку (0; −1).
2. Возьмём x = 1: y = 2 · 1 − 1 = 1. Получаем точку (1; 1).
3. Для проверки возьмём x = −1: y = 2 · (−1) − 1 = −3. Получаем точку (−1; −3).
4. Отметим три точки на координатной плоскости и проведём через них прямую. Все три должны лежать на одной линии.

Ответ: график — прямая через точки (0; −1), (1; 1) и (−1; −3). Она пересекает ось y в точке (0; −1) и возрастает, поскольку k = 2 > 0.

Найти пересечения графика y = −3x + 6 с осями и построить его

Точка на оси y имеет x = 0, а точка на оси x имеет y = 0. Подставляя эти значения, найдём две точки пересечения, через которые можно провести график. Такой способ удобен, когда требуется построить прямую и отметить её пересечения с осями.

1. Для оси y положим x = 0: y = −3 · 0 + 6 = 6. Получаем точку (0; 6).
2. Для оси x положим y = 0: 0 = −3x + 6. Переносим: 3x = 6, значит, x = 2. Получаем точку (2; 0).
3. Отметим точки (0; 6) и (2; 0), затем проведём через них прямую в обе стороны.
4. Проверим точку пересечения с осью x: −3 · 2 + 6 = 0, значит, координаты найдены верно.

Ответ: график пересекает ось y в точке (0; 6), а ось x — в точке (2; 0). Прямая убывает, поскольку коэффициент k = −3 отрицательный.

Найти b, если график y = 2x + b проходит через (3; 4), и построить график

Если точка принадлежит графику, её координаты должны удовлетворять формуле. Подставим вместо x число 3, а вместо y число 4 и найдём неизвестное b. После этого получим обычную формулу, по которой можно вычислить координаты двух точек.

1. Подставим координаты точки: 4 = 2 · 3 + b.
2. Вычислим произведение: 4 = 6 + b. Вычтем 6 из обеих частей, получим b = −2.
3. Формула функции теперь имеет вид y = 2x − 2. При x = 0 получаем y = −2, то есть точку (0; −2).
4. Возьмём x = 1: y = 2 · 1 − 2 = 0. Получаем точку (1; 0); отметим обе точки и проведём через них прямую.
5. Проверим исходную точку: при x = 3 получаем y = 2 · 3 − 2 = 4. Она действительно принадлежит построенному графику.

Ответ: b = −2, функция задана формулой y = 2x − 2. Её график проходит через точки (0; −2), (1; 0) и (3; 4).

Типичные ошибки

Некоторые считают, что для построения прямой достаточно одной точки. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых, поэтому определить нужный график невозможно. Найди вторую точку с другим x; для проверки можно вычислить и третью. Если вычисленная третья точка не лежит на линии, проверь таблицу и построение.

Другая ошибка — путать коэффициенты k и b, считая их равнозначными числами в формуле. Тогда можно неверно описать наклон или отметить пересечение с осью y не там, где нужно. Проверь себя по двум признакам: k умножается на x и отвечает за изменение функции, а b остаётся при x = 0. Подстановка x = 0 сразу показывает точку (0; b).

При подстановке отрицательного x иногда теряют знак, а при решении y = 0 ошибаются при переносе слагаемого. Такие неточности меняют координаты точки и приводят к неверной прямой. Записывай отрицательное число в скобках, например 2 · (−3), и выполняй действия по порядку. В конце подставь найденные координаты в исходную формулу: равенство должно получиться верным.

Отмеченные точки иногда соединяют только коротким отрезком. Но линейная функция задана для всех значений x, поэтому её график продолжается в обе стороны без конца. Проведи линию через точки и продли её за пределы крайних отметок. Проверь, что это именно прямая, а не ломаная.

Связь с другими темами

Для вычисления точек графика нужно уметь подставлять числа вместо букв и считать значения выражений, в том числе с отрицательными числами. Также необходимы знания о координатной плоскости: нужно понимать, как записывают координаты точки и как её отметить. Эти навыки пригодятся при построении графиков других зависимостей.

Графики линейных функций помогают изучать системы линейных уравнений: решение системы можно увидеть как точку пересечения графиков. Графический способ также позволяет наглядно решать уравнения и сравнивать значения двух выражений. Поэтому умение строить и читать прямые понадобится в следующих темах алгебры.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• Её график — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
• Коэффициент k определяет наклон прямой.
• Коэффициент b задаёт пересечение графика с осью y.
• Графики функций с одинаковым k параллельны или совпадают.
• При k = 0 график — горизонтальная прямая y = b.

Как это устроено