3. График линейной функции

Определения и обозначения

Линейная функция — функция вида y = kx + b, где k и b — постоянные числа. Переменная x может принимать любые допустимые значения, а y зависит от неё по простой формуле. Такая запись нужна, чтобы описывать равномерное изменение величины и исследовать его с помощью графика.

График линейной функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению y = kx + b. Для линейной функции это прямая линия. График позволяет видеть изменение функции и быстро находить значения, нули и точки пересечения.

Угловой коэффициент — число k, показывающее, на сколько изменяется значение функции при увеличении x на единицу. Он также определяет наклон прямой относительно оси Ox. По знаку и величине k можно определить направление и крутизну графика.

Свободный член — число b, равное значению функции при x = 0. Поэтому прямая пересекает ось Oy в точке (0; b). Этот параметр помогает сразу выбрать одну точку для построения и понять вертикальное положение графика.

Как это устроено

Если увеличить аргумент x на число Δx, то значение функции изменится на kΔx: y₂ − y₁ = k(x₂ − x₁). При равных приращениях x приращения y одинаковы, потому что k постоянно. Именно поэтому наклон графика не меняется от точки к точке, а все точки образуют прямую.

Знак k задаёт направление прямой. Если k > 0, при движении слева направо значение y увеличивается, поэтому прямая поднимается; если k < 0, значение y уменьшается, и прямая опускается. Величина |k| показывает, сколько единиц по вертикали приходится на одну единицу по горизонтали, поэтому большее |k| означает более крутой наклон.

При x = 0 формула превращается в y = b, так что график проходит через (0; b). Если изменить b, к каждому значению y прибавится одно и то же число, а наклон останется прежним. Поэтому прямая параллельно сдвигается вверх при увеличении b и вниз при его уменьшении.

Для построения достаточно выбрать любые два значения x, вычислить соответствующие y и отметить две точки. Особенно удобны точка (0; b) и точка пересечения с осью Ox, если k ≠ 0. Через отмеченные точки проводят прямую и продолжают её в обе стороны.

При k = 0 формула принимает вид y = b: функция постоянна, а график является горизонтальной прямой. Если b = 0, получаем y = kx, и прямая проходит через начало координат (0; 0). При одновременном k = 0 и b = 0 график совпадает с осью Ox.

Свойства графика функции y = kx + b в зависимости от углового коэффициента

Таблица помогает по значению k быстро определить направление движения графика и его монотонность. Точка пересечения с осью Oy одинакова по смыслу для всех случаев, а пересечение с осью Ox существует не всегда. Для двух прямых условие параллельности нужно проверять по их угловым коэффициентам.

Разбор задач

Задача 1

Условие: построить график функции y = 2x − 3 и указать точки его пересечения с координатными осями. Для быстрого построения выберем значения, при которых координаты получаются простыми.

1. При x = 0 получаем y = −3, поэтому первая точка — (0; −3), то есть пересечение с осью Oy.
2. Для пересечения с осью Ox положим y = 0: 2x − 3 = 0, откуда x = 3/2. Вторая точка — (3/2; 0).
3. Отметим эти точки и проведём через них прямую. Её направление вверх слева направо согласуется с k = 2 > 0.

Ответ: график проходит через (0; −3) и (3/2; 0); точки пересечения с осями — (0; −3) и (3/2; 0).

Задача 2

Условие: найти формулу функции, график которой проходит через A(−1; 4) и B(3; −4). Сначала определим наклон прямой, а затем её вертикальное положение.

1. Находим k = (−4 − 4)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2.
2. Записываем y = −2x + b и подставляем координаты A: 4 = −2·(−1) + b, значит b = 2.
3. Проверяем точку B: −2·3 + 2 = −4, условие выполняется.

Ответ: y = −2x + 2.

Задача 3

Условие: найти уравнение прямой, проходящей через (2; 5) и параллельной y = −3x + 1, а также определить её пересечение с осью Ox.

1. Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, поэтому искомая прямая имеет k = −3.
2. Подставляем точку в y = −3x + b: 5 = −3·2 + b, откуда b = 11.
3. Искомое уравнение: y = −3x + 11. Для оси Ox полагаем y = 0: −3x + 11 = 0, поэтому x = 11/3.

Ответ: y = −3x + 11; точка пересечения с осью Ox — (11/3; 0).

Типичные ошибки

Путать k и b. k определяет наклон, а b — пересечение с Oy, но одинаковые буквы в формуле иногда воспринимаются как равноправные параметры. Проверьте себя: при изменении k меняется направление, а при изменении b прямая только сдвигается.

Строить по одной точке. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых, поэтому такой график не определяется однозначно. Найдите вторую точку и убедитесь, что обе удовлетворяют формуле.

Неверно определять знак наклона. Ошибка появляется, если смотреть на движение справа налево или путать возрастание с убыванием. Двигайтесь мысленно слева направо: при k > 0 прямая поднимается, при k < 0 опускается.

Принимать b за пересечение с Ox. Число b является ординатой точки на оси Oy, потому что там x = 0. Для оси Ox нужно решить kx + b = 0; при k ≠ 0 координата x равна −b/k.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны координатная плоскость, построение точек, решение линейных уравнений и нахождение углового коэффициента по двум точкам. Графики линейных функций применяются при графическом решении систем линейных уравнений и исследовании линейных неравенств. Представление о параметрах прямой пригодится при изучении квадратичных и кусочно-заданных функций, а также при построении математических моделей.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Число k определяет наклон и направление прямой.
• Число b — ордината точки пересечения графика с осью Oy.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает, при k = 0 постоянна.
• Для построения прямой достаточно найти две её точки.
• Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.