"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Преобразования графиков функций позволяют строить новые графики по уже известным, не составляя большую таблицу значений. Изменение формулы показывает, куда переместится график, растянется он или сожмётся, появится ли отражение. Главные правила связаны с прибавлением чисел к функции и аргументу, а также с множителями перед ними. Освоив эти зависимости, можно быстро исследовать сложные функции и решать уравнения и неравенства графически.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование графика функции — изменение положения, масштаба или ориентации графика, задаваемое новой формулой. Например, из y = f(x) можно получить y = f(x) + 2 или y = −f(x). Это понятие помогает строить знакомые кривые без полного вычисления новых значений.
Параллельный перенос графика — сдвиг всех его точек на один и тот же вектор без изменения формы. При таком движении расстояния и углы между точками сохраняются. Перенос используют, когда к аргументу или значению функции прибавляют число.
Растяжение и сжатие графика — изменение координат точек по горизонтали или вертикали с сохранением общего вида кривой. Множитель перед функцией действует на значения y, а множитель при x — на координаты x. Поэтому по месту множителя можно определить направление изменения.
Симметрия графика — отражение относительно оси координат или начала координат, возникающее при изменении знака аргумента или значения функции. Замена y на −y даёт отражение относительно Ox, а замена x на −x — относительно Oy. Эти правила позволяют быстро строить графики чётных и нечётных функций.
В формуле y = f(x) + b прибавляется число к уже полученному значению функции. Значит, у каждой точки с координатами (x; f(x)) абсцисса остаётся прежней, а ордината становится f(x) + b. Все точки перемещаются вертикально на одинаковое расстояние, поэтому форма графика не меняется.
В выражении y = f(x − a) меняется не значение функции напрямую, а аргумент, для которого оно берётся. Если старый график имеет точку (x₀; f(x₀)), то на новом графике такое же значение появится при x − a = x₀, то есть при x = x₀ + a. Поэтому знак внутри аргумента действует противоположно направлению сдвига: минус даёт перенос вправо.
Множитель A перед функцией умножает каждую ординату на A: точка (x; y) переходит в (x; Ay). При |A| > 1 расстояния от оси Ox увеличиваются, а при 0 < |A| < 1 уменьшаются. Множитель B при x требует другой логики: чтобы получить прежнее значение f(x₀), нужно решить Bx = x₀, поэтому новая абсцисса равна x₀/B.
Если A отрицательно, новая ордината меняет знак: точка (x; y) переходит в (x; −|A|y), и график отражается относительно Ox. При отрицательном аргументе точка с прежним значением находится по другую сторону оси Oy: (x; y) переходит в (−x; y). Так возникают отражения, а дополнительные модули множителей одновременно меняют масштаб.
В формуле y = A f(Bx + C) + D удобно вынести из аргумента множитель: Bx + C = B(x + C/B). Сначала разбирают горизонтальное изменение, включая сжатие или растяжение и отражение при B < 0, затем выполняют вертикальное изменение с множителем A, а в конце сдвигают график вверх или вниз на D. Горизонтальный перенос равен −C/B, если рассматривать итоговое положение точек.
| Преобразование | Формула | Изменение координат точки | Геометрический смысл |
|---|---|---|---|
| Вертикальный перенос | y = f(x) + b | (x; y) → (x; y + b) | Сдвиг вверх на b при b > 0 или вниз при b < 0 |
| Горизонтальный перенос | y = f(x − a) | (x; y) → (x + a; y) | Сдвиг вправо на a при a > 0 |
| Отражение относительно оси Ox | y = −f(x) | (x; y) → (x; −y) | Зеркальное отражение относительно Ox |
| Отражение относительно оси Oy | y = f(−x) | (x; y) → (−x; y) | Зеркальное отражение относительно Oy |
| Вертикальное растяжение или сжатие | y = A f(x) | (x; y) → (x; Ay) | Изменение масштаба по вертикали |
| Горизонтальное растяжение или сжатие | y = f(Bx) | (x; y) → (x/B; y) | Изменение масштаба по горизонтали |
| Комбинация преобразований | y = A f(Bx + C) + D | (x; y) → ((x − C)/B; Ay + D) | Несколько переносов, масштабирований и отражений |
Таблицу удобно читать от формулы к координатам: сначала определить, какая координата изменяется, а затем установить направление движения. Для комбинации преобразований полезно сначала упростить аргумент и только потом работать с вертикальной частью. При отрицательных A или B к изменению масштаба добавляется соответствующая симметрия.
Условие: построить график y = |x − 3| + 2, используя график y = |x|.
Ответ: график имеет вершину (3; 2) и выглядит как обычная V-образная линия, перенесённая вправо на 3 и вверх на 2.
Условие: по графику y = √x построить график y = −2√(x + 1) − 3 и указать область определения и множество значений.
Ответ: область определения: x ∈ [−1; +∞); множество значений: y ∈ (−∞; −3].
Условие: дан график y = f(x). Описать преобразования для y = −2f(3x − 6) + 4 и найти образ точки (0; f(0)).
Ответ: образ точки (0; f(0)) — точка (2; 4 − 2f(0)); преобразования выполнены в описанной последовательности.
Сдвиг f(x − a) влево. Ошибка появляется из-за знака минус в формуле. Проверьте её на условии x − a = x₀: новая координата равна x₀ + a, значит, сдвиг направлен вправо.
Путаница между вертикальным и горизонтальным растяжением. Множитель перед f изменяет y, а множитель при x изменяет x в обратное число раз. Для самопроверки выпишите образ произвольной точки и посмотрите, какая координата умножается.
Пропуск отражения. Отрицательный множитель перед функцией меняет знак ординаты, а отрицательный аргумент меняет знак абсциссы. Проверьте наличие минуса отдельно перед f и внутри скобок.
Неправильный порядок составных преобразований. Обычно это происходит, когда общий множитель не выносят из аргумента. Запишите Bx + C как B(x + C/B), разберите горизонтальную часть, затем вертикальную и только после этого перенос D.
До изучения преобразований нужны координаты точек, понятие графика функции и умение находить область определения. Эти знания позволяют проверять направление сдвига и допустимые значения аргумента.
Правила применяются к степенным, показательным, логарифмическим и тригонометрическим функциям. Вместо построения каждого графика с нуля достаточно изменить известный базовый график.
Преобразования помогают исследовать функции, находить число корней и решать уравнения и неравенства графическим методом. По взаимному положению преобразованных графиков можно быстро оценить ответ.
Почему в формуле f(x-3) график сдвигается вправо, а не влево?
Точка нового графика получает значение старой функции при аргументе x − 3. Чтобы использовать старое значение в точке x₀, нужно взять x − 3 = x₀, откуда x = x₀ + 3. Поэтому каждая точка перемещается вправо на 3.
Как не перепутать горизонтальное и вертикальное растяжение?
Множитель перед всей функцией меняет значение y, поэтому действует вертикально: y = A f(x). Множитель при x меняет аргумент и координаты x: y = f(Bx). Удобно проверить правило на одной точке и решить, какая именно координата изменилась.
В каком порядке выполнять несколько преобразований графика?
Сначала разберите аргумент: вынесите из него общий множитель и определите горизонтальное изменение. Затем выполните вертикальное растяжение или отражение, а в конце — вертикальный перенос. Можно проверить результат, подставив координаты известной точки.
Что происходит с областью определения после горизонтального сдвига?
Область определения сдвигается вместе с графиком. Если исходная область была x ∈ D, то для функции f(x − a) она станет x ∈ D + a, то есть каждый элемент области увеличится на a. При сдвиге f(x + a) область переместится влево на a.
Можно ли построить новый график, не вычисляя таблицу значений?
Да, если известен исходный график и правила преобразований. Достаточно перенести, растянуть или отразить его точки и ключевые элементы: вершины, нули, точки пересечения с осями. Таблица нужна только для проверки или построения исходного графика.
2. Преобразования графиков функций
