1. Координатное задание геометрических преобразований

Определения и обозначения

Геометрическое преобразование — отображение каждой точки плоскости в некоторую точку, называемую её образом. Иными словами, правило преобразования говорит, куда попадёт любая выбранная точка. Это понятие позволяет описывать перенос, отражение и поворот не только на рисунке, но и точно.

Координатное задание преобразования — формулы, выражающие координаты образа через координаты исходной точки. Обычно пишут x' = f(x, y), y' = g(x, y), где штрих обозначает новые координаты. Такие формулы нужны, чтобы вычислять положение образа без построения каждой точки на плоскости.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при заданном преобразовании. Если исходная точка имеет координаты (x; y), то её образ обозначают, например, A'(x'; y'). Различение исходной точки и образа помогает не перепутать направление вычислений.

Движение — геометрическое преобразование, сохраняющее расстояния между точками. Поэтому при движении не меняются длины сторон, углы и форма фигуры, хотя её положение может измениться. К движениям относятся параллельный перенос, осевые и центральная симметрии, а также поворот.

Как это устроено

Преобразование плоскости задают парой формул x' = f(x, y), y' = g(x, y). Для каждой исходной пары координат (x, y) эти формулы дают конкретные числа x' и y', то есть одну точку-образ. Поэтому правило однозначно определяет образ любой точки, если функции f и g однозначны.

Формулы можно вывести из геометрического описания. При переносе на вектор (a, b) абсцисса увеличивается на a, а ордината — на b, поэтому x' = x + a, y' = y + b. При отражении относительно Ox расстояние по горизонтали не меняется, а вертикальное направление меняется на противоположное: (x, y) → (x, −y); относительно Oy аналогично получается (x, y) → (−x, y).

Поворот на 90° против часовой стрелки переводит горизонтальное направление в вертикальное, поэтому координаты меняются местами, а один знак меняется: (x, y) → (−y, x). Для поворота на угол α используются формулы x' = x cos α − y sin α и y' = x sin α + y cos α. Они следуют из разложения радиус-вектора точки на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Проверить сохранение расстояний можно через формулу расстояния между двумя точками: d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². После подстановки формул преобразования нужно сравнить новое и исходное значения этой суммы; при движении они совпадут. Сохранение углов и формы следует из сохранения длин векторов и их скалярных произведений, а значит, сохраняются и все фигуры.

Чтобы получить образ фигуры, достаточно преобразовать координаты всех её определяющих точек, чаще всего вершин. Затем найденные точки соединяют в том же порядке, что и исходные, и получают новую фигуру. Если преобразования выполняются одно за другим, координаты после первого шага подставляют в формулы второго, не меняя порядок действий.

Координатные формулы основных геометрических преобразований

В таблице штрихованные координаты относятся к образу точки (x; y). Формулы можно применять к каждой вершине фигуры или к любой другой её точке. В последнем столбце указаны свойства, которые сохраняются при соответствующем преобразовании.

Разбор задач

1. Параллельный перенос

Точка A(−2; 3) переносится на вектор (4; −1). При переносе первая координата изменяется на первую координату вектора, а вторая — на вторую. Поэтому знаки вектора нужно учитывать отдельно.

1. Записываем формулы: x' = x + a, y' = y + b.
2. Подставляем координаты A и вектора: x' = −2 + 4 = 2, y' = 3 + (−1) = 2.
3. Объединяем найденные координаты в одну точку.

Ответ: A'(2; 2). Точка сместилась вправо на 4 единицы и вниз на 1 единицу, что соответствует вектору переноса.

2. Симметрия относительно оси Oy

Нужно отразить вершины треугольника A(1; 2), B(4; 2), C(2; 5) относительно оси Oy. При таком отражении меняется только абсцисса, потому что расстояние по вертикали до начала координат остаётся тем же. Значит, используем правило (x; y) → (−x; y).

1. Для A получаем A'(−1; 2), для B — B'(−4; 2), для C — C'(−2; 5).
2. Наносим три образа на координатную плоскость и соединяем их в порядке A', B', C'.
3. Сравниваем соответствующие стороны: у каждой пары точек меняется знак разности абсцисс, но квадрат этой разности остаётся прежним.

Ответ: A'(−1; 2), B'(−4; 2), C'(−2; 5). Длины сторон не изменились, потому что осевая симметрия является движением и сохраняет расстояния между любыми точками.

3. Поворот и перенос

Прямоугольник имеет вершины A(1; 1), B(3; 1), C(3; 2), D(1; 2). Сначала выполняем поворот на 90° против часовой стрелки, затем перенос на (2; 3), поэтому второй шаг нельзя выполнить первым. Удобно сначала получить промежуточные координаты, а потом прибавить координаты вектора.

1. Поворот задаётся формулой (x; y) → (−y; x). После него получаем A₁(−1; 1), B₁(−1; 3), C₁(−2; 3), D₁(−2; 1).
2. Перенос даёт A'(1; 4), B'(1; 6), C'(0; 6), D'(0; 4).
3. Если подставить промежуточные координаты в формулы переноса сразу, получаем x' = −y + 2 и y' = x + 3.

Ответ: A'(1; 4), B'(1; 6), C'(0; 6), D'(0; 4). Единые формулы результата: x' = 2 − y, y' = x + 3.

Типичные ошибки

Путают исходную точку и образ. Ошибка возникает, когда формулу читают справа налево или подставляют уже новые координаты вместо исходных. Проверяйте себя обозначениями: сначала известны x и y, а вычисляются x' и y'.

Меняют знаки обеих координат при отражении относительно оси. Так делают из-за смешения осевой и центральной симметрии. Для Ox меняется только y, для Oy — только x, а оба знака меняются лишь при симметрии относительно начала координат.

Неверно поворачивают точку на 90°. Причина обычно в путанице направления и знака после перестановки координат. Проверьте формулу на точке (1; 0): против часовой стрелки она должна перейти в (0; 1), а по часовой — в (0; −1).

Меняют порядок последовательных преобразований. Такой результат часто кажется естественным, поскольку оба шага выглядят независимыми, но композиция обычно зависит от порядка. Подписывайте промежуточные координаты и выполняйте сначала действие, названное первым.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны координаты точки и вектора, уравнения прямых, формула расстояния между точками и признаки симметрии на координатной плоскости. Эти знания позволяют понимать смысл каждой координаты и проверять результат вычислений. Без них формулы преобразований остаются набором правил.

Координатные преобразования применяются при исследовании графиков функций и преобразовании уравнений фигур. Они помогают решать задачи на движения, симметрию и последовательное выполнение нескольких действий. Геометрическое описание при этом переводится в алгебраические вычисления.

Позже эти формулы понадобятся при изучении векторов, матриц и аналитической геометрии. С помощью матриц удобно записывать повороты и другие линейные преобразования. Те же идеи используются при преобразованиях графиков функций.

Что запомнить

• Преобразование задаёт каждой исходной точке единственный образ.
• Координатное задание преобразования состоит из формул для x' и y'.
• При переносе координаты изменяются на координаты вектора переноса.
• Осевые и центральная симметрии задаются сменой знаков координат.
• Поворот на 90° связан с перестановкой координат и изменением одного из знаков.
• Чтобы преобразовать фигуру, достаточно преобразовать координаты всех её определяющих точек.
• При последовательных преобразованиях действия выполняют в указанном порядке.