"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Преобразования графиков позволяют быстро строить график новой функции по уже известному графику. Для этого его переносят, отражают, растягивают или сжимают по одной из координат. Главное — правильно определить, как изменение формулы влияет на координаты каждой точки. Такие приёмы упрощают исследование функций, решение уравнений графическим методом и построение сложных графиков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование графика — способ получить график новой функции из исходного с помощью переноса, отражения, растяжения или сжатия. Исходным обычно служит график y = f(x), для которого уже известны форма и характерные точки. Это позволяет строить новый график без составления большой таблицы значений.
Параллельный перенос графика — смещение всех его точек на один и тот же вектор. Если каждая точка перемещается одинаково, форма графика не меняется. Такой приём нужен, чтобы быстро учитывать добавление числа к аргументу или значению функции.
Симметрия графика — отражение графика относительно оси абсцисс или оси ординат. При отражении относительно оси абсцисс меняются знаки ординат, а при отражении относительно оси ординат — знаки абсцисс. Симметрия помогает понимать действие отрицательных знаков в формуле.
Растяжение и сжатие графика — изменение его масштаба по вертикали или горизонтали. Вертикальный масштаб меняется при умножении всей функции на число, а горизонтальный — при изменении аргумента. Благодаря этому можно строить графики функций, отличающихся от знакомой только коэффициентами.
В формуле y = f(x) + b к каждому значению функции прибавляется одно и то же число b. Значит, точка (x₀; f(x₀)) превращается в точку (x₀; f(x₀) + b): абсцисса не меняется, а ордината увеличивается или уменьшается. Поэтому при b > 0 график поднимается на b единиц, а при b < 0 опускается на |b| единиц.
В выражении y = f(x − a) знакомое значение f(x₀) получается тогда, когда x − a = x₀, то есть новая абсцисса равна x₀ + a. Поэтому исходная точка перемещается вправо на a, несмотря на знак «минус» внутри скобок. В формуле f(x + a) равенство x + a = x₀ даёт x = x₀ − a, поэтому перенос происходит влево.
При умножении функции на c меняется каждая ордината: точка (x₀; f(x₀)) переходит в (x₀; c f(x₀)). Если |c| > 1, расстояния от точек до оси абсцисс увеличиваются, поэтому график растягивается по вертикали; если 0 < |c| < 1, он сжимается. При c < 0 ординаты получают противоположные знаки, и вместе с изменением масштаба происходит отражение относительно оси абсцисс.
В формуле y = f(kx) фиксированное значение f(x₀) возникает при kx = x₀, поэтому новая абсцисса равна x₀/k. Из-за деления на |k| при |k| > 1 график сжимается по горизонтали, а при 0 < |k| < 1 растягивается. Если k < 0, знак абсциссы меняется, что добавляет отражение относительно оси ординат.
Несколько преобразований выполняют последовательно, отслеживая координаты выбранной точки. Например, для y = cf(x − a) + b сначала точку (x₀; y₀) заменяют на (x₀ + a; y₀), затем получают (x₀ + a; c y₀), а в конце — (x₀ + a; c y₀ + b). Такой порядок помогает не перепутать действие коэффициентов и переносов.
| Функция | Преобразование графика | Изменение координат точки |
|---|---|---|
| y = f(x) + b | Перенос вверх или вниз | (x; y) → (x; y + b) |
| y = f(x − a) | Перенос вправо или влево | (x; y) → (x + a; y) |
| y = −f(x) | Симметрия относительно оси абсцисс | (x; y) → (x; −y) |
| y = f(−x) | Симметрия относительно оси ординат | (x; y) → (−x; y) |
| y = cf(x) | Растяжение или сжатие по вертикали | (x; y) → (x; cy) |
| y = f(kx) | Растяжение или сжатие по горизонтали | (x; y) → (x/k; y) |
| y = cf(x − a) + b | Последовательное преобразование с переносом, масштабированием и отражением | (x; y) → (x + a; cy + b) |
Таблицу удобно использовать как алгоритм: сначала сопоставьте новую формулу с одной из строк, затем измените координаты нескольких характерных точек. Если в формуле есть несколько действий, применяйте их по очереди или используйте последнюю строку. После построения проверьте вершину, нули или другую точку, для которой значение легко вычислить.
Задача 1. По графику функции y = x² построить график y = (x − 2)² + 3 и указать координаты вершины.
Ответ: парабола с вершиной (2; 3), полученная переносом y = x² на 2 единицы вправо и на 3 вверх.
Задача 2. Построить график y = −2|x + 1| + 4, используя график y = |x|.
Ответ: график имеет вершину (−1; 4), ветви направлены вниз; он получен последовательным переносом, растяжением, отражением и подъёмом.
Задача 3. График y = x² растянут по вертикали в 3 раза, отражён относительно оси абсцисс, сдвинут вправо на 1 и вниз на 2.
Ответ: y = −3(x − 1)² − 2. Вершина новой параболы — (1; −2), ветви направлены вниз.
Путаница с горизонтальным переносом. Часто знак «минус» в f(x − a) воспринимают буквально и сдвигают график влево. Причина в том, что изменение происходит внутри аргумента, а не со значением функции. Проверьте себя равенством x − a = x₀: новая абсцисса равна x₀ + a.
Неверное направление масштабирования по горизонтали. Умножение аргумента на k ошибочно считают растяжением в |k| раз. На самом деле новая абсцисса равна x₀/k, поэтому при |k| > 1 график сжимается. Для проверки возьмите точку с ненулевой абсциссой и вычислите, куда она перейдёт.
Забытый знак отражения. Отрицательный множитель перед функцией меняет знак ординаты, но это иногда принимают только за сжатие. Сравните точки (x; y) и (x; −y): они симметричны относительно оси абсцисс.
Неправильный порядок действий. При нескольких преобразованиях можно перенести точку не той координатой или применить коэффициент к неверному выражению. Записывайте промежуточные координаты после каждого шага и подставляйте итоговую точку в формулу.
До изучения преобразований нужно уметь строить график по таблице значений и находить координаты точек в прямоугольной системе координат. Тема опирается на понимание области определения и зависимости значения функции от аргумента: именно они объясняют, какие координаты меняются. Эти приёмы пригодятся при исследовании функций, построении графиков параметрических функций и решении уравнений графическим методом.
Почему в формуле f(x−a) перенос происходит вправо?
Точка исходного графика с абсциссой x₀ имеет координаты (x₀; f(x₀)). Чтобы получить такое же значение функции в новой формуле, нужно взять x − a = x₀, то есть x = x₀ + a. Поэтому вся точка перемещается вправо на a.
Как определить, растягивается график или сжимается?
Если функция умножается на число c, сравнивают |c| с единицей: при |c| > 1 график растягивается по вертикали, а при 0 < |c| < 1 сжимается. Для выражения f(kx) действует обратное правило по горизонтали: при |k| > 1 график сжимается, при 0 < |k| < 1 растягивается.
Что происходит с графиком при отрицательном коэффициенте?
Отрицательный множитель перед всей функцией меняет знак каждой ординаты, поэтому график отражается относительно оси абсцисс. Отрицательное число при x меняет знак абсциссы и даёт отражение относительно оси ординат.
Можно ли применять несколько преобразований одновременно?
Да, несколько действий объединяются в одной формуле, например y = cf(x − a) + b. Надёжнее выполнять их по шагам: сначала изменить аргумент, затем умножить значение функции и в конце прибавить b.
Как по готовому графику восстановить формулу функции?
Сначала определяют исходный знакомый график и находят его ключевые точки. Затем по положению новой вершины, нулей или других точек устанавливают переносы и масштабы, после чего записывают формулу и проверяют её по нескольким точкам.
§ 2. Преобразования графиков
