"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Преобразования графиков функций позволяют строить новые графики по уже известному, не составляя таблицу значений заново. Изменение формулы показывает, куда перемещаются точки, как меняется масштаб или происходит отражение. Главное — различать действие множителя перед функцией и множителя при x: первый меняет вертикальный масштаб, второй — горизонтальный в обратное число раз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование графика функции — изменение положения, формы или масштаба графика по заданному правилу. Например, график можно передвинуть, растянуть или отразить. Это понятие помогает строить сложные графики на основе уже известных.
Параллельный перенос графика — смещение всех его точек на один и тот же вектор. Если каждая точка получает одинаковое приращение по горизонтали или вертикали, форма графика не меняется. Такой способ используется для быстрого построения функций с добавленными числами.
Растяжение и сжатие графика — изменение расстояний от его точек до оси или до вертикальной прямой вследствие умножения координат. Растяжение увеличивает эти расстояния, а сжатие уменьшает их. Различают вертикальный масштаб по координате y и горизонтальный масштаб по координате x.
Симметрия графика — отражение графика относительно оси координат или начала координат. При отражении относительно Ox меняются знаки ординат, а относительно Oy — знаки абсцисс. Симметрия позволяет сразу понять смысл знака минус в формуле.
В формуле y = f(x) + b к каждому значению функции прибавляется одно и то же число b. Значит, точка (x; f(x)) переходит в точку (x; f(x) + b), а её абсцисса не меняется. При b > 0 график поднимается на b единиц, при b < 0 опускается на |b| единиц.
В записи y = f(x − a) новое значение в точке x равно старому значению в точке x − a. Чтобы получить прежнее значение, которое было при аргументе t, надо выбрать x = t + a. Поэтому исходная точка (t; f(t)) переходит в (t + a; f(t)), то есть при a > 0 график сдвигается вправо, хотя внутри скобок стоит минус.
При умножении на число k меняются значения функции: точка (x; y) переходит в (x; ky). Поэтому расстояние до Ox увеличивается в |k| раз при |k| > 1 и уменьшается при 0 < |k| < 1. Если k отрицательно, после изменения масштаба знак y меняется, и график дополнительно отражается относительно оси Ox.
В формуле y = f(kx) множитель действует не на значение функции, а на её аргумент. Исходная точка с аргументом t появляется там, где kx = t, то есть x = t/k. Следовательно, горизонтальные расстояния изменяются в 1/|k| раза: при |k| > 1 график сжимается, а при 0 < |k| < 1 растягивается; отрицательное k добавляет отражение относительно Oy.
Формула y = −f(x) меняет знак каждой ординаты, поэтому задаёт отражение относительно Ox. В формуле y = f(−x) меняется знак абсциссы, что означает отражение относительно Oy. Если применить оба действия, получаем y = −f(−x): точка (x; y) переходит в (−x; −y), то есть график симметричен относительно начала координат.
В таблице точка (x; y) означает точку исходного графика y = f(x). Сначала определите, какая часть формулы изменилась: добавление снаружи влияет на y, изменение аргумента — на x. При нескольких преобразованиях применяйте правила последовательно и проверяйте координаты хотя бы одной характерной точки.
| Вид функции | Изменение координат точки | Геометрическое преобразование | Условия и направление изменения |
|---|---|---|---|
| y = f(x) + b | (x; y) → (x; y + b) | Вертикальный перенос | b > 0 — вверх, b < 0 — вниз на |b| |
| y = f(x − a) | (x; y) → (x + a; y) | Горизонтальный перенос | a > 0 — вправо, a < 0 — влево на |a| |
| y = kf(x) | (x; y) → (x; ky) | Вертикальное растяжение или сжатие | |k| > 1 — растяжение, 0 < |k| < 1 — сжатие; k < 0 — отражение относительно Ox |
| y = f(kx) | (x; y) → (x/k; y) | Горизонтальное растяжение или сжатие | масштаб 1/|k|; k < 0 — отражение относительно Oy |
| y = −f(x) | (x; y) → (x; −y) | Симметрия относительно Ox | Абсциссы сохраняются, знаки ординат меняются |
| y = f(−x) | (x; y) → (−x; y) | Симметрия относительно Oy | Ординаты сохраняются, знаки абсцисс меняются |
| y = −f(−x) | (x; y) → (−x; −y) | Симметрия относительно начала координат | Одновременно меняются знаки x и y |
Условие. Построить график функции y = (x − 2)² + 3, используя график y = x². Исходная парабола имеет вершину (0; 0) и направлена вверх. Нужно определить, как изменились её координаты.
Ответ. График y = x² переносится на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Это парабола y = (x − 2)² + 3 с вершиной (2; 3).
Условие. По графику y = |x| построить график y = −2|x + 1| + 4 и указать координаты вершины. У исходного графика вершина находится в начале координат, а ветви образуют букву V. Разберём изменения формулы по их действию.
Ответ. Получается график функции y = −2|x + 1| + 4. Его вершина имеет координаты (−1; 4).
Условие. Из графика y = √x получить график растяжением по горизонтали в 3 раза, отражением относительно Ox и переносом на 2 единицы вправо. Нужно перевести каждое действие в формулу, не перепутав горизонтальный и вертикальный коэффициенты.
Ответ. Искомая формула: y = −√((x − 2)/3). Начальная точка графика (0; 0) переходит в (2; 0), а область определения становится x ≥ 2.
При y = f(x − a) иногда переносят график влево при a > 0. Так происходит из-за механического следования знаку минус внутри скобок. Проверьте себя на вершине y = x²: в функции y = (x − 2)² она должна оказаться в точке (2; 0), значит перенос направлен вправо.
Некоторые считают, что y = f(kx) растягивает график по горизонтали в |k| раз. На самом деле исходная абсцисса t переходит в t/k, поэтому масштаб равен 1/|k|. Для проверки возьмите точку с x = 3: при k = 3 она окажется при x = 1, то есть график сжался.
Множитель перед функцией y = kf(x) иногда ошибочно применяют к координате x. Он умножает значения y, поэтому точка (x; y) переходит в (x; ky), а абсцисса остаётся прежней. Проверить правило можно по пересечениям с осью Oy: их высоты меняются, но x = 0 сохраняется.
При нескольких действиях можно потерять промежуточный результат и неверно найти вершину. Ошибка возникает, когда все знаки и коэффициенты пытаются обработать одновременно. Записывайте отдельную формулу после каждого шага и в конце преобразуйте одну характерную точку.
До изучения преобразований нужны понятия функции, её графика и координат точки, а также умение строить графики основных функций. Без этого трудно определить, какая точка была исходной и как она изменилась. Особенно полезно уверенно знать графики y = x², y = |x| и y = √x.
Правила применяются при построении графиков квадратных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций. Вместо новой таблицы значений можно преобразовать знакомый базовый график. Это сокращает вычисления и помогает увидеть свойства функции.
Позже преобразования понадобятся при исследовании функций, нахождении области значений и решении уравнений и неравенств графическим способом. По положению и форме графика можно сравнивать функции и находить точки пересечения. Поэтому умение отслеживать координаты важно не только для построения.
Почему в формуле f(x−a) график сдвигается вправо, а не влево?
Точка с абсциссой x на новом графике получает значение исходной функции в точке x − a. Чтобы получить прежнее значение f(t), нужно взять x = t + a, поэтому каждая точка перемещается вправо на a. Например, вершина y = x² из точки (0; 0) переходит в (a; 0).
Как понять, в каком порядке выполнять несколько преобразований?
Удобно разбирать формулу от внутреннего изменения аргумента к внешнему изменению значения функции. После каждого действия фиксируйте новую формулу или координаты характерных точек. Если преобразования не зависят друг от друга, иногда порядок можно изменить, но вертикальный перенос нельзя ошибочно умножать на коэффициент, который применяется позже.
Чем отличаются растяжение графика по вертикали и по горизонтали?
При вертикальном преобразовании y = kf(x) умножаются ординаты, а абсциссы остаются прежними. При горизонтальном преобразовании y = f(kx) изменяются абсциссы: масштаб становится в 1/|k| раза. Поэтому одинаковое число k действует на координаты по-разному.
Как построить новый график, если известен только график исходной функции?
Выберите несколько характерных точек исходного графика и преобразуйте их координаты по правилу. Для y = f(x) + b меняйте y, для y = f(x − a) меняйте x, а при умножении на коэффициент учитывайте соответствующую координату. Затем нанесите новые точки и соедините их с сохранением формы графика.
Можно ли по виду преобразованного графика восстановить формулу функции?
Да, если известна исходная функция и можно определить переносы, масштаб и отражения. Сначала найдите положение характерных точек, например вершины, затем определите вертикальный и горизонтальный коэффициенты. Для сложных графиков могут существовать разные записи одной и той же функции.
2.2.2. Преобразования графиков функций
