2.2.3.* График дробно-линейной функции

Определения и обозначения

Дробно-линейная функция — функция вида y = (ax + b)/(cx + d), где a, b, c, d — числа, а знаменатель не равен нулю. При c ≠ 0 её график обычно является гиперболой. Такая запись помогает исследовать функцию через коэффициенты и найти запрещённые значения x.

Канонический вид дробно-линейной функции — запись y = k + m/(x − h), где m ≠ 0. В ней сразу видны сдвиги обычной гиперболы y = 1/x: h отвечает за сдвиг по горизонтали, k — по вертикали. Поэтому канонический вид удобен для построения и описания свойств графика.

Вертикальная асимптота — прямая x = h, к которой приближается график, когда x приближается к h. Само значение x = h в область определения не входит. Эта прямая показывает границу, возле которой значения функции по модулю могут становиться очень большими.

Горизонтальная асимптота — прямая y = k, к которой приближается график при больших по модулю значениях x. Значение y = k график не принимает. Асимптота позволяет понять поведение ветвей вдали от центра гиперболы.

Как это устроено

Пусть c ≠ 0. Чтобы выделить целую часть дроби, представим числитель так: ax + b = (a/c)(cx + d) + (b − ad/c). Тогда y = a/c + (b − ad/c)/(cx + d), а после вынесения c из знаменателя получаем y = a/c + (b − ad/c)/c · 1/(x + d/c). Это и есть вид y = k + m/(x − h), где k = a/c, h = −d/c, m = (bc − ad)/c².

Значение x = −d/c исключается потому, что при нём cx + d = 0. Нельзя делить числитель и знаменатель на выражение, равное нулю, поэтому исходная функция в этой точке не определена. При приближении x к −d/c знаменатель становится очень маленьким, а дробь обычно неограниченно возрастает по модулю, что объясняет появление вертикальной асимптоты.

При больших по модулю x главные части числителя и знаменателя имеют вид ax и cx. Поэтому отношение (ax + b)/(cx + d) становится близким к ax/cx = a/c, а добавочные числа b и d влияют всё меньше. Следовательно, горизонтальная асимптота имеет уравнение y = a/c, или y = k в канонической записи.

График y = m/x получается из графика y = 1/x изменением масштаба и, если m отрицательно, отражением относительно одной из координатных осей. В формуле y = k + m/(x − h) замена x на x − h сдвигает график на h единиц вправо, а прибавление k сдвигает его на k единиц вверх. Поэтому достаточно изучить исходную гиперболу, учесть m и выполнить два сдвига.

Асимптоты x = h и y = k пересекаются в точке (h, k), которая является центром гиперболы и её центром симметрии. Если m > 0, произведение (x − h)(y − k) положительно, поэтому координатные отклонения имеют один знак и ветви лежат в верхней правой и нижней левой областях. При m < 0 отклонения разных знаков, и ветви занимают верхнюю левую и нижнюю правую области.

Свойства функции y = k + m/(x − h), m ≠ 0

Таблица собрана для быстрого исследования функции перед построением графика. Сначала найдите h, k и m, затем последовательно используйте соответствующие строки. Особенно полезно проверить область определения: она подсказывает, какую вертикальную прямую нельзя включать в график.

Разбор задач

Задача 1

Преобразуем функцию y = (2x + 1)/(x − 3), найдём асимптоты и центр гиперболы. Нужно выделить в числителе выражение, пропорциональное знаменателю. После этого параметры канонического вида читаются непосредственно.

1. Представим числитель: 2x + 1 = 2(x − 3) + 7.
2. Разделим на x − 3: y = 2 + 7/(x − 3).
3. Сравним с y = k + m/(x − h): k = 2, m = 7, h = 3.
4. Запишем асимптоты x = 3 и y = 2, а центр — (3; 2).

Ответ: y = 2 + 7/(x − 3); вертикальная асимптота x = 3, горизонтальная асимптота y = 2, центр гиперболы (3; 2). Поскольку m = 7 > 0, ветви расположены в верхней правой и нижней левой областях относительно центра.

Задача 2

Асимптоты заданы уравнениями x = 2 и y = −1, а график проходит через точку (3; 1). Канонический вид можно записать сразу: y = −1 + m/(x − 2). Осталось определить единственный неизвестный параметр m.

1. Подставим координаты точки: 1 = −1 + m/(3 − 2).
2. Получим 1 = −1 + m, поэтому m = 2.
3. Запишем функцию: y = −1 + 2/(x − 2).

Ответ: y = −1 + 2/(x − 2). Проверка даёт 1 = −1 + 2 при x = 3, значит точка действительно принадлежит графику.

Задача 3

Найдём точки пересечения графиков y = (2x + 1)/(x − 1) и y = x + 2. В точке пересечения значения y равны, поэтому приравняем формулы, но сразу запомним ограничение x ≠ 1. Умножение на x − 1 допустимо только для таких x.

1. Составим уравнение: (2x + 1)/(x − 1) = x + 2.
2. Умножим на x − 1: 2x + 1 = (x + 2)(x − 1) = x² + x − 2.
3. Перенесём всё в одну сторону: x² − x − 3 = 0.
4. Решим квадратное уравнение: x = (1 ± √13)/2. Оба корня не равны 1, поэтому допустимы.
5. Для каждого корня найдём y = x + 2: y = (5 ± √13)/2 с тем же знаком.

Ответ: точки пересечения имеют координаты ((1 + √13)/2; (5 + √13)/2) и ((1 − √13)/2; (5 − √13)/2). Проверка ограничения x ≠ 1 обязательна, даже если корни получены после преобразований.

Типичные ошибки

1. Включают x = −d/c в область определения. После сокращения выражение может выглядеть проще, поэтому исходное ограничение забывают. Проверьте нули исходного знаменателя до любых сокращений.

2. Путают асимптоты. Уравнение x = h задаёт вертикальную прямую, а y = k — горизонтальную. Полезно посмотреть, какая переменная зафиксирована в каждом уравнении.

3. Строят график как y = 1/x. При этом теряются коэффициент m и сдвиги h, k, поэтому ветви оказываются не на своих местах. Сначала выпишите канонический вид и отметьте обе асимптоты.

4. Теряют или добавляют корни при умножении на знаменатель. Такое происходит, если не учитывать, что знаменатель не может быть нулём. После решения подставьте каждый корень в исходное уравнение и исключите недопустимые значения.

Связь с другими темами

Для преобразования дробно-линейной функции нужны действия с алгебраическими дробями и понимание линейной функции. График y = 1/x служит исходной моделью, а сдвиги и отражения объясняют, как получить новую гиперболу.

Тема используется при решении дробно-рациональных уравнений и неравенств. Асимптоты и область определения помогают правильно учитывать запрещённые значения и проверять полученные ответы.

Центр гиперболы и её симметрия связывают тему с координатной геометрией. Взаимное расположение ветвей и других графиков помогает исследовать число точек пересечения.

Что запомнить

• Дробно-линейная функция при c ≠ 0 имеет график гиперболу.
• Канонический вид функции: y = k + m/(x − h), m ≠ 0.
• Область определения: все x, кроме x = h.
• Асимптоты графика: x = h и y = k.
• Центр гиперболы — точка (h, k).
• При m > 0 ветви расположены в верхней правой и нижней левой областях относительно центра.
• При m < 0 ветви расположены в верхней левой и нижней правой областях относительно центра.