"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Отражение графика относительно координатной оси помогает получить новый график по известному, не строя его с нуля. При отражении относительно Ox меняется знак ординаты, а относительно Oy — знак абсциссы. Поэтому формулы преобразуются по-разному: y = −f(x) и y = f(−x). Если выполнить оба отражения, получится симметрия относительно начала координат. Эти правила также помогают распознавать чётные и нечётные функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Симметрия относительно оси Ox — преобразование, при котором точка (x; y) переходит в точку (x; −y). Поэтому график функции y = f(x) после отражения задаётся формулой y = −f(x). Это правило позволяет получить график, перевернув каждую точку через горизонтальную ось.
Симметрия относительно оси Oy — преобразование, при котором точка (x; y) переходит в точку (−x; y). Для графика функции это означает замену x на −x, поэтому новая формула имеет вид y = f(−x). Правило нужно, чтобы построить отражение графика влево-вправо.
Отражение графика — построение нового графика по координатному правилу преобразования каждой его точки. Например, если точка графика имеет координаты (2; −3), то при отражении относительно Ox нужно изменить только вторую координату. Такой способ помогает строить новый график по известным точкам исходного.
Симметрия относительно начала координат равносильна последовательному отражению относительно обеих осей. Каждая точка (x; y) переходит в (−x; −y), а график y = f(x) — в график y = −f(−x). Это преобразование удобно, когда нужно проверить или построить центральную симметрию графика.
При отражении относительно Ox точка перемещается вертикально, но остаётся на прежнем расстоянии от оси. Поэтому её абсцисса x не меняется, а ордината y становится противоположной: y → −y. Если на исходном графике при x функция равна f(x), то после отражения в той же точке по горизонтали значение будет −f(x), откуда и получается формула y = −f(x).
Ось Oy расположена вертикально, поэтому отражение через неё перемещает точку по горизонтали. Высота точки не меняется, значит, y остаётся прежним, а x заменяется на −x. Чтобы найти новое значение при некотором x, нужно посмотреть, какое значение исходная функция имела в точке −x; поэтому получается f(−x), а не −f(x).
Для построения по точкам запиши координаты исходных точек и измени только те знаки, которые требует выбранная ось. Например, точка (2; −3) при отражении через Ox станет (2; 3), а через Oy — (−2; −3). При отражении через Oy область определения отражается по горизонтали: новому x соответствует исходное значение при −x; при отражении через Ox область определения сохраняется, но область значений меняет знак.
Если сначала отразить график относительно Oy, точка (x; y) станет (−x; y). Отражение этой новой точки через Ox меняет знак ординаты, так что получится (−x; −y); в формуле это означает сначала заменить x на −x, затем поставить минус перед всей функцией: y = −f(−x). Порядок этих двух отражений можно поменять: итоговые координаты будут такими же.
Чётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = f(x), поэтому точки с противоположными абсциссами имеют одинаковые ординаты. Отсюда график чётной функции симметричен относительно Oy. Для нечётной функции выполняется f(−x) = −f(x): противоположным абсциссам соответствуют противоположные ординаты, и график симметричен относительно начала координат.
| Преобразование | Формула новой функции | Переход точки | Что происходит с координатами |
|---|---|---|---|
| Исходный график | y = f(x) | (x; y) | Координаты не меняются |
| Симметрия относительно Ox | y = −f(x) | (x; y) → (x; −y) | x сохраняется, знак y меняется |
| Симметрия относительно Oy | y = f(−x) | (x; y) → (−x; y) | y сохраняется, знак x меняется |
| Симметрия относительно начала координат | y = −f(−x) | (x; y) → (−x; −y) | Знаки обеих координат меняются |
Сначала определи ось отражения, а затем найди в таблице формулу и правило перехода точки. Не смешивай изменение аргумента с изменением значения функции: это разные преобразования. Если отражаешь относительно начала координат, меняются обе координаты.
На графике функции y = f(x) отмечена точка A(2; −3). Укажите координаты её образа при симметрии относительно оси Ox и относительно оси Oy. Нужно определить, какая координата меняет знак при каждом отражении. Исходная точка находится справа от Oy и ниже Ox.
Ответ: относительно Ox образ точки — (2; 3), относительно Oy — (−2; −3). В каждом случае изменился знак только у координаты, перпендикулярной оси отражения.
Постройте графики функций, полученных из y = (x − 2)² + 1 симметрией относительно Ox и относительно Oy, и запишите их формулы. Удобно сначала применить правила к формуле, а потом представить, как переместятся точки. Вершина исходной параболы находится в точке (2; 1).
Ответ: для Ox — y = −(x − 2)² − 1; для Oy — y = (x + 2)² + 1. При построении отметьте новые вершины и отразите остальные точки по соответствующему правилу.
Функция задана формулой f(x) = √(x + 2) − 1. Получите формулу функции после последовательного отражения её графика относительно осей Oy и Ox, укажите область определения и координаты образа точки исходного графика (−2; −1). Важно проследить не только за формулой, но и за допустимыми значениями x. Два отражения меняют знаки обеих координат каждой точки.
Ответ: y = −√(2 − x) + 1, область определения (−∞; 2], образ точки — (2; 1). Проверка по точкам подтверждает порядок знаков: сначала меняется x, затем y.
При отражении относительно Ox иногда заменяют x на −x, хотя меняется ордината, а не абсцисса. Эту ошибку допускают, потому что ориентируются на знак в формуле, не представляя, где расположена ось. Проверь правило по точке: её x должен остаться прежним, а y — сменить знак.
При отражении относительно Oy записывают −f(x) вместо f(−x). Причина та же: путают изменение аргумента и изменение значения функции. Для самопроверки выбери точку (x; y): у образа через Oy координаты должны быть (−x; y), а не (x; −y).
Выражения f(−x) и −f(x) иногда считают равными без проверки. Они совпадают только у нечётной функции, поскольку для неё f(−x) = −f(x). Подставь конкретное значение x или вспомни определение нечётности, прежде чем заменять одно выражение другим.
При отражении могут забыть про область определения или решить, что при любом отражении должны поменяться оба знака. Область определения отражается только при замене x на −x, тогда как отражение через Ox изменяет значения y. Проверь, при каких x исходная формула определена, и отдельно применяй правило к каждой координате.
Для работы с отражениями нужно уметь читать координаты точки и понимать график y = f(x). Также понадобятся понятия области определения и подстановка выражения вместо аргумента: именно так появляется f(−x). Эти знания позволяют не только менять формулы, но и проверять, для каких x новый график существует.
Симметрия помогает изучать чётные и нечётные функции и быстро строить график по уже известному. Позже эти преобразования пригодятся при исследовании функций и графическом решении уравнений и неравенств. Отражённые графики позволяют сравнивать решения и видеть связь между ними.
Почему при отражении относительно оси Ox меняется знак y, а не x?
Ось Ox сама состоит из точек с ординатой 0, а расстояние до неё измеряется вертикально. При отражении точка остаётся на той же высоте относительно оси, но по другую сторону от неё, поэтому x сохраняется, а y меняет знак.
Чем отличаются формулы −f(x) и f(−x)?
В формуле −f(x) меняется знак значения функции: график отражается относительно Ox. В f(−x) меняется аргумент, поэтому отражение происходит относительно Oy. Эти выражения в общем случае не равны.
Как быстро построить отражённый график, если известны отдельные точки исходного?
Запиши координаты каждой известной точки и примени правило перехода. Для Ox оставь x и поменяй знак y, а для Oy оставь y и поменяй знак x. Затем отметь новые точки и соедини их в том же порядке и с той же формой, что у исходного графика.
Что произойдёт с областью определения функции при симметрии относительно Oy?
Область определения тоже отражается относительно нуля: если исходная область — D, то новая состоит из чисел x, для которых −x принадлежит D. Например, область [−2; +∞) перейдёт в (−∞; 2].
Всегда ли симметрия графика относительно начала координат означает, что функция нечётная?
Для функции, график которой симметричен относительно начала координат, выполняется f(−x) = −f(x) при всех x из области определения. Такая функция называется нечётной. При этом область определения должна быть симметрична относительно нуля, иначе условие нечётности выполнить нельзя.
2.2.4. Преобразование графиков: симметрия относительно осей координат.
