График у = \f(x)\ и у = f(\x\)

Определения и обозначения

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения функции. Область определения — все допустимые значения аргумента x. По графику можно видеть, какие значения принимает функция и решать уравнения.

Модуль числа — неотрицательное расстояние от числа до нуля: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. Например, |3| = 3, а |−3| = 3. Это правило позволяет заменить выражение с модулем формулой без знака модуля.

Функция y = f(|x|) получает значение так: в функцию f подставляют не x, а его модуль |x|. Поэтому аргумент f никогда не бывает отрицательным. Такое обозначение удобно для построения нового графика по уже известному графику y = f(x).

Симметрия относительно оси Oy означает соответствие точек (x; y) и (−x; y). Их ординаты одинаковы, а абсциссы противоположны. При таком отражении график зеркально переносится слева направо и наоборот.

Как это устроено

Чтобы убрать модуль из формулы, рассматривают два случая: x ≥ 0 и x < 0. Это нужно потому, что значение |x| вычисляется по разным правилам справа и слева от нуля. Поэтому y = f(|x|) записывают как f(x) при x ≥ 0 и как f(−x) при x < 0.

Если x ≥ 0, то |x| = x. Значит, f(|x|) = f(x), и на правой полуплоскости оба графика имеют одинаковые точки. Именно поэтому часть исходного графика справа от оси Oy переносить или изменять не нужно.

Если x < 0, то |x| = −x, причём −x положительно. Значение f(|x|) тогда равно значению исходной функции в точке с абсциссой |x|, расположенной справа от оси Oy. Поэтому каждой правой точке (|x|; f(|x|)) соответствует левая точка (−|x|; f(|x|)), и правая ветвь отражается влево.

Для построения по готовому графику берут только его часть при x ≥ 0, включая точку на оси Oy, если она существует. Затем каждую точку (x; y) заменяют точкой (−x; y), то есть отражают относительно оси Oy. Левая часть исходного графика не учитывается, потому что отрицательные аргументы всё равно заменяются модулем.

Область определения новой функции находят не механическим копированием исходной области, а проверкой условия |x| ∈ D(f). Если f определена при всех неотрицательных аргументах из некоторого промежутка, то в область определения y = f(|x|) попадут и соответствующие отрицательные x. Множество значений берут по значениям f на неотрицательной части её области определения, а симметрия следует из равенства |−x| = |x|.

Сравнение графиков y = f(x) и y = f(|x|)

Сначала сравните значения при x ≥ 0: именно они определяют правую часть нового графика. Затем проверьте, какие отрицательные x разрешены условием |x| ∈ D(f). Последняя строка помогает быстро распознать график y = f(|x|): его левая и правая части зеркально совпадают.

Разбор задач

Задача 1. Построение по графику

По графику функции y = f(x) построить график y = f(|x|). Готовый рисунок исходной функции считать данным. Нужно понять, какие точки сохраняются, а какие появляются заново.

1. Оставляем часть исходного графика, расположенную при x ≥ 0. Для каждой её точки (x; y) значение новой функции такое же, потому что |x| = x.
2. Каждую сохранённую точку отражаем относительно оси Oy: (x; y) переходит в (−x; y). Ордината не меняется.
3. Соединяем отражённые точки так же плавно или отрезками, как они соединялись справа. Левую часть исходного графика при построении не учитываем.

Ответ: сохранить правую часть графика y = f(x) и отразить её относительно оси Oy.

Задача 2. График y = |x| − 1

Построить график функции y = |x| − 1, рассматривая её как y = f(|x|), где f(x) = x − 1. Здесь удобно сначала построить обычную прямую, но использовать только её правую часть.

1. При x ≥ 0 имеем y = x − 1. Это луч прямой с началом в точке (0; −1), проходящий, например, через (1; 0) и (2; 1).
2. При x < 0 модуль равен −x, поэтому y = −x − 1. Получаем левый луч, симметричный правому относительно Oy.
3. Объединяем оба луча. Вершина графика находится в точке (0; −1), а график имеет форму буквы V.

Ответ: график — симметричная относительно Oy ломаная y = |x| − 1 с вершиной (0; −1).

Задача 3. Исследование графика

По графику y = f(|x|) определить область определения, множество значений и число решений уравнения f(|x|) = a. Для этого используют сам график и его симметрию, а не исходную формулу f.

1. Область определения — все абсциссы точек графика. Если точка с абсциссой x есть, то из симметрии есть и точка с абсциссой −x.
2. Множество значений — все ординаты, которых достигает график. Их удобно определить по самой нижней и верхней точкам или по промежуткам значений y.
3. Чтобы найти решения уравнения, проводим горизонтальную прямую y = a. Каждая точка пересечения с графиком даёт одно решение, а число пересечений равно числу корней.

Ответ: область определения читают по оси Ox, множество значений — по оси Oy, число решений — по количеству пересечений с прямой y = a.

Типичные ошибки

Отражают график относительно оси Ox, хотя нужно отражать относительно Oy. Так делают, потому что вспоминают преобразования знака у функции, но здесь меняется аргумент x, а не значение y. Проверьте себя: у симметричных точек должны быть одинаковые ординаты и противоположные абсциссы.

Оставляют весь исходный график и дополнительно достраивают его отражением. Ошибка возникает из-за того, что левая часть уже кажется готовой, хотя она соответствует f(x), а не f(|x|). Удалите исходную левую часть и сравните результат с условием симметрии.

Пишут при x < 0 сразу −x, не объясняя происхождение этого выражения. Подстановка −x верна только потому, что |x| = −x для отрицательного x. Проверка проста: возьмите, например, x = −3 и убедитесь, что |−3| = 3 = −(−3).

Механически переносят область определения исходной функции. Для новой функции нужно проверить не x ∈ D(f), а |x| ∈ D(f). Подставьте в это условие несколько положительных и отрицательных чисел, чтобы не потерять допустимые значения.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны определение функции, координаты точки, построение графика по формуле и свойства модуля. Без этого трудно понять, почему замена аргумента меняет расположение точек. Полезно уверенно работать с неравенствами и промежутками.

График y = f(|x|) связан с чётными функциями: для него выполняется g(−x) = g(x). Поэтому тема помогает распознавать симметрию относительно оси Oy и исследовать функции с модулем.

Приём используют при построении графиков, решении уравнений и неравенств графическим способом. Он позволяет заменить сложную запись последовательностью простых преобразований.

Что запомнить

• При x ≥ 0 выполняется |x| = x, поэтому y = f(|x|) совпадает с y = f(x).
• При x < 0 выполняется |x| = −x.
• График y = f(|x|) строят по правой части графика y = f(x).
• Правую часть графика отражают относительно оси Oy.
• График функции y = f(|x|) симметричен относительно оси Oy.
• Левая часть исходного графика при построении y = f(|x|) не используется.
• Область определения y = f(|x|) определяется условием |x| принадлежит области определения f.