График у = \f(x)\ и у = f(\x\)

Определения и обозначения

График функции y = |f(x)| получают из графика y = f(x), заменяя каждое значение функции его модулем. Если f(x) было отрицательным, оно становится положительным, а если было положительным или нулём — не меняется. Это правило нужно, чтобы быстро построить график, не вычисляя заново значения функции для каждого x.

При переходе от y = f(x) к y = |f(x)| части графика ниже оси Ox отражают относительно этой оси, а части выше оставляют на месте. Ось Ox служит линией зеркального отражения: точки сохраняют координату x, но меняют знак координаты y. Такое построение наглядно показывает, как модуль меняет знак отрицательных значений.

График y = f(|x|) строят по правой части графика y = f(x), то есть по точкам с x ≥ 0. Эту часть отражают влево относительно оси Oy, а левую часть исходного графика не используют. Так можно построить новую функцию и увидеть, что её левая и правая части симметричны.

Как это устроено

В выражении y = |f(x)| сначала находят значение f(x), а затем берут его модуль. Аргумент x остаётся прежним, поэтому все значения x, при которых была определена f, подходят и для новой функции. Модуль числа не бывает отрицательным, значит, множество значений нового графика состоит только из нуля и положительных чисел.

Если точка исходного графика имеет координаты (x, y) и y < 0, то после взятия модуля она становится точкой (x, −y). Горизонтальная координата не меняется, а вертикальная меняет знак, поэтому точка оказывается на таком же расстоянии над Ox, на каком была под ней. Точки с y ≥ 0 уже удовлетворяют условию модуля и остаются на месте.

В выражении y = f(|x|) сначала заменяют аргумент на его модуль. Поскольку |x| всегда неотрицателен, для вычислений нужны только значения исходной функции при x ≥ 0. Отсюда правило построения: левую часть нового графика получают отражением правой части исходного графика, а исходную левую часть отбрасывают.

Для любого x модуль числа x совпадает с модулем числа −x, поэтому f(|x|) и f(|−x|) равны. Это означает, что значения новой функции справа и слева от Oy одинаковы: график симметричен относительно этой оси, а функция чётная. При x = 0 аргумент не меняется, потому что |0| = 0, так что значение функции в нуле сохраняется, если f(0) определено.

Рассмотрим f(x) = x − 1. Исходная прямая пересекает Ox при x = 1, поэтому при построении y = |x − 1| её часть слева от этой точки отражается вверх, а часть справа остаётся. Для y = f(|x|) = |x| − 1 берём правую часть исходной прямой, начиная с точки (0, −1), и отражаем её влево. Область определения обоих новых графиков — все действительные числа, но значения первого неотрицательны, а второй график симметричен относительно Oy и имеет наименьшее значение −1.

Как построить графики y = |f(x)| и y = f(|x|)

Сначала определи, где в формуле стоит модуль: вокруг значения функции или вокруг аргумента. Затем выбери нужную часть графика и ось отражения. Строки об области определения и множестве значений помогут проверить построение.

Разбор задач

1. Построить график y = |x − 1|, используя график y = x − 1.

Найдём, где прямая расположена ниже Ox: это нужно, чтобы понять, какую часть будет менять модуль. Для этого определим, при каких x выражение x − 1 отрицательно. Части, где оно неотрицательно, должны совпасть с исходной прямой.

1. Решаем неравенство x − 1 < 0 и получаем x < 1. При этих x график y = x − 1 находится ниже Ox. Точка пересечения с осью — (1, 0).
2. Оставляем часть прямой при x ≥ 1. Часть при x < 1 отражаем относительно Ox, то есть точки (x, x − 1) заменяем точками (x, 1 − x). Проверяем, что обе части сходятся в точке (1, 0).

Ответ: график состоит из двух лучей с вершиной (1, 0), то есть y = |x − 1|. Он целиком лежит не ниже Ox, а его область определения — все действительные числа.

2. Построить график y = |x² − 1|, используя график y = x² − 1.

Исходный график — парабола, сдвинутая вниз на единицу. Чтобы понять, какие дуги отразить, найдём её пересечения с Ox и знак выражения между ними. Вне промежутка между корнями парабола находится выше оси.

1. Решаем x² − 1 = 0: корни равны −1 и 1. Выражение отрицательно при −1 < x < 1, потому что x² < 1. На этом промежутке дуга исходной параболы расположена ниже Ox.
2. Оставляем дуги при x ≤ −1 и x ≥ 1. Дугу при −1 < x < 1 отражаем относительно Ox, меняя y = x² − 1 на y = 1 − x². В точках x = −1 и x = 1 график касается Ox и части соединяются.

Ответ: график совпадает с исходной параболой при |x| ≥ 1, а между −1 и 1 проходит по отражённой дуге y = 1 − x². Область определения — все действительные числа, значения неотрицательны.

3. Построить график y = |x| − 1, используя график y = x − 1.

Здесь модуль стоит у аргумента, а не у всего значения x − 1. Поэтому не нужно отражать части прямой, оказавшиеся ниже Ox. Нужно взять только её правую часть, соответствующую x ≥ 0, и отразить эту часть относительно Oy.

1. На исходной прямой y = x − 1 отмечаем часть при x ≥ 0. Она начинается в точке (0, −1) и проходит через (1, 0). При построении новой функции эта часть остаётся на месте.
2. Отражаем выбранную часть влево: точка (x, x − 1) переходит в (−x, x − 1). Например, точка (1, 0) дополняется точкой (−1, 0), а значение при x = 0 остаётся равным −1.

Ответ: получаем график y = |x| − 1, симметричный относительно Oy. Его область определения — все действительные числа, а наименьшее значение равно −1.

Типичные ошибки

Ошибка: при построении y = |f(x)| отражают весь график относительно Ox. Так делают, когда воспринимают модуль как команду зеркально перевернуть график целиком. Но положительные значения модуль не меняет, поэтому их части должны остаться на месте. Проверь построение: выше Ox график обязан совпадать с исходным.

Ошибка: для y = f(|x|) отражают исходную левую часть графика. Возможно, путают ось отражения с направлением, в котором нужно строить. На самом деле берут правую часть, потому что |x| ≥ 0, и отражают её влево через Oy. Проверь: у новой функции значения при x и −x должны совпадать.

Ошибка: считают, что y = |f(x)| и y = f(|x|) означают одно и то же. Причина — в обеих записях видны одинаковые символы, но модуль стоит в разных местах. В первом случае он меняет знак значения y, во втором — заменяет аргумент x на |x|. Перед построением подчеркни выражение внутри модуля: это подскажет, что именно меняется.

Ошибка: полагают, что область определения y = f(|x|) всегда та же, что у f. Такое предположение верно не для любой функции: исходная f может быть определена не при всех неотрицательных аргументах. Проверь, какие значения |x| допустимы для f, и только затем выбери допустимые x. Например, если f задана лишь при t ≥ 2, то нужны x, для которых |x| ≥ 2.

Связь с другими темами

Для построения нужно уметь читать график: находить точки, пересечения с осями и участки, где функция положительна или отрицательна. Это знание помогает определить, какие части графика изменятся после применения модуля. Также пригодятся свойства модуля числа: он неотрицателен и не меняет уже неотрицательное число.

Отражение правой части графика связано с чётными функциями: их графики симметричны относительно Oy. Построение двух видов графиков тренирует работу с координатами и помогает исследовать область определения и значения функций. Эти приёмы применяют и при построении более сложных графиков.

Что запомнить

• График y = |f(x)| не опускается ниже оси Ox.
• Для y = |f(x)| отражают относительно Ox только части исходного графика ниже этой оси.
• График y = f(|x|) строят по правой части графика y = f(x).
• При построении y = f(|x|) правую часть отражают относительно Oy.
• Функция y = f(|x|) чётная.
• В точках, где f(x) ≥ 0, график y = |f(x)| совпадает с графиком y = f(x).

Как это устроено

На графике ниже показаны исходная функция y = x − 1 и два результата применения модуля. Сравни их: в y = |x − 1| изменяются отрицательные значения, а в y = |x| − 1 повторяется правая часть исходной прямой. Такое сопоставление помогает не перепутать два преобразования.