График у = \f(x)\ и у = f(\x\)

Определения и обозначения

График функции y = |f(x)| — множество точек, полученное из графика y = f(x) заменой каждого значения f(x) на его модуль. Например, значение −3 становится равным 3, а значение 2 не меняется. Это определение нужно, чтобы понять, какие части графика следует переместить и почему его значения не бывают отрицательными.

График функции y = f(|x|) — график функции, в формуле которой вместо аргумента x стоит его модуль |x|. При подстановке аргумент не может оказаться отрицательным, поскольку |x| ≥ 0. Такое представление помогает увидеть, почему для построения достаточно правой части исходного графика.

Отражение относительно оси Ox переводит точку (x, y) в точку (x, −y): абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак. Так верхняя точка оказывается на таком же расстоянии под осью. Это правило используют, когда значение функции становится противоположным.

Отражение относительно оси Oy переводит точку (x, y) в точку (−x, y): ордината сохраняется, а абсцисса меняет знак. Точка перемещается на другую сторону оси на такое же расстояние. Такое отражение позволяет копировать правую часть графика влево.

Как это устроено

Для построения y = |f(x)| сначала рассматривают исходный график y = f(x). Если его точка лежит выше Ox, то f(x) уже положительно и модуль не меняет значение; если точка ниже Ox, значение отрицательно и при взятии модуля становится положительным. Поэтому нижние участки отражают вверх, а верхние оставляют на месте. Абсцисса x при этом не меняется, ведь модуль применяется не к аргументу, а к результату функции.

Из того же правила следует, что область определения y = |f(x)| совпадает с областью определения f: для каждого допустимого x можно взять модуль уже полученного значения. Значения новой функции неотрицательны, поскольку модуль любого числа больше или равен нулю. Нули остаются нулями, поэтому точки пересечения с Ox сохраняются. Эти свойства помогают проверить построение: под осью Ox готовый график находиться не должен.

Чтобы построить y = f(|x|), сначала берут только ту часть графика y = f(x), которая соответствует x ≥ 0. Причина в том, что выражение |x| никогда не бывает отрицательным, и при вычислении новой функции исходная f получает только неотрицательные аргументы. Для отрицательного x выполняется |x| = |−x|, поэтому значения слева и справа от Oy одинаковы. Значит, выбранную правую часть нужно отразить относительно Oy.

Левая половина исходного графика не определяет результат построения: в неё аргумент |x| не попадает. Поэтому область определения новой функции состоит из таких x, для которых |x| входит в область определения f; она симметрична относительно нуля и может быть уже исходной. Например, если f определена только при положительных аргументах, новая функция может быть определена и при соответствующих отрицательных x. Но если в исходной области нет подходящих неотрицательных аргументов, для них не появится и точек нового графика.

Сравним преобразования для f(x) = x − 1. Для y = |x − 1| модуль берётся от всего значения x − 1: прямая лежит ниже Ox при x < 1, поэтому этот участок отражается вверх, а часть при x ≥ 1 остаётся на месте. Для y = |x| − 1 аргумент заменяется на |x|, так что справа остаётся график y = x − 1 при x ≥ 0, а затем его копируют влево зеркально. В результате вершина второго графика находится в точке (0, −1), а первого — в точке (1, 0).

Сравнение графиков y = |f(x)| и y = f(|x|)

Пользуйтесь таблицей, чтобы сначала определить, к чему применён модуль: к значению функции или к аргументу. Затем выберите соответствующее преобразование и проверьте область определения. Симметрия относительно Oy есть у второго графика, но не обязательно у первого.

Разбор задач

Задача 1. Построить график y = |x − 2|, используя график y = x − 2.

1. Исходный график — прямая. Найдём, где она пересекает Ox: x − 2 = 0, значит, x = 2.
2. При x ≥ 2 значения x − 2 неотрицательны, поэтому эта часть прямой при взятии модуля не меняется.
3. При x < 2 значения отрицательны. Отражаем эту часть относительно Ox: точки сохраняют абсциссу, а ордината меняет знак.
4. Проверяем форму: обе части сходятся в точке (2, 0), а график не уходит ниже Ox.

Ответ: график — V-образная линия с вершиной (2, 0); y = 2 − x при x < 2 и y = x − 2 при x ≥ 2.

Задача 2. Построить график y = |x| − 2, используя график y = x − 2.

1. В формуле модуль относится к x, значит, нужно строить f(|x|), где f(x) = x − 2. Берём часть исходной прямой при x ≥ 0.
2. На этой части y = x − 2. Она начинается в точке (0, −2) и пересекает Ox в точке (2, 0).
3. Отражаем выбранную часть относительно Oy: каждая точка (x, y) переходит в (−x, y). Поэтому левая ветвь повторяет правую.
4. Проверяем результат: график симметричен относительно Oy, а обе ветви проходят через (0, −2).

Ответ: y = |x| − 2; график состоит из прямых y = x − 2 при x ≥ 0 и y = −x − 2 при x < 0.

Задача 3. Для f(x) = x² − 4 построить y = |f(x)| и y = f(|x|), указать нули и область значений.

1. Исходный график — парабола y = x² − 4 с областью определения R. Её нули находятся из x² − 4 = 0: x = −2 и x = 2.
2. Для y = |f(x)| оставляем части параболы выше Ox и отражаем вниз расположенную часть, которая находится при −2 < x < 2. Нули остаются x = −2 и x = 2.
3. Для y = f(|x|) берём правую половину параболы и отражаем её относительно Oy. Поскольку исходная парабола уже симметрична, её вид не меняется; нули также равны −2 и 2.
4. В первом случае модуль не позволяет значениям быть отрицательными, а значение 0 достигается в нулях. Во втором минимальное значение исходной функции равно −4 при аргументе 0, и больших значений функция не ограничена.

Ответ: области определения обеих функций — R; нули обеих функций — −2 и 2. Область значений y = |x² − 4| — [0; +∞), а y = f(|x|) = x² − 4 принимает значения из [−4; +∞).

Типичные ошибки

Путать |f(x)| и f(|x|) — значит менять не ту часть выражения. Это случается, потому что в обеих записях видны одинаковые символы модуля. Перед построением прочитайте формулу словами: «модуль значения» или «функция от модуля аргумента».

При построении y = |f(x)| иногда отражают весь график относительно Ox. Так делают, когда забывают, что положительные значения модуль оставляет без изменения. Проверьте каждую точку: её новая ордината должна равняться |f(x)|, а не −f(x) во всех случаях.

Для y = f(|x|) ошибочно копировать левую половину исходного графика. Левая часть не подходит, потому что в функцию подставляют только неотрицательные числа |x|. Найдите на исходном графике часть при x ≥ 0 и отразите именно её относительно Oy.

Нельзя считать, что область определения y = f(|x|) всегда совпадает с областью определения f. Новая функция определена только тогда, когда |x| допустим для f, а исходная область может содержать недопустимые для этого шага отрицательные аргументы. Проверяйте условие |x| ∈ D(f); полученная область должна быть симметрична относительно нуля.

Связь с другими темами

Для работы с этими преобразованиями нужно уметь читать график, находить область определения и значения функции, а также понимать модуль числа. Такие навыки помогают строить графики более сложных функций и решать уравнения и неравенства графическим способом. График y = f(|x|) связан с чётными функциями: его симметрия относительно Oy означает, что значения при x и −x равны. Поэтому такая функция чётная на своей симметричной области определения.

Что запомнить

• В y = |f(x)| модуль применяется к значениям функции.
• В y = f(|x|) модуль применяется к аргументу.
• Для y = |f(x)| отрицательные значения f(x) отражают вверх относительно Ox.
• Для y = f(|x|) правую половину графика отражают относительно Oy.
• График y = f(|x|) симметричен относительно оси Oy.
• Область определения y = f(|x|) состоит из тех x, для которых |x| принадлежит области определения f.