§ 24. Геометрическая прогрессия

Определения и обозначения

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число. Её обозначают b₁, b₂, b₃, …, bₙ, …, а условие записывают так: bₙ₊₁ = q·bₙ. Это правило позволяет по одному члену последовательно находить остальные.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Оно равно отношению любого члена, начиная со второго, к предыдущему: q = bₙ₊₁/bₙ, если предыдущий член не равен нулю. Зная q, можно понять, во сколько раз меняется член при каждом переходе.

Формула n-го члена позволяет найти член с номером n, не выписывая все предыдущие: bₙ = b₁·qⁿ⁻¹. Здесь b₁ — первый член, а q — знаменатель прогрессии. Формула удобна, когда номер члена большой и последовательное вычисление заняло бы много времени.

Суммой первых n членов называют число Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ. При q ≠ 1 её находят по формуле Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), а при q = 1 — по формуле Sₙ = n·b₁. Разделение на два случая нужно, потому что в первой формуле при q = 1 знаменатель становится нулём.

Как это устроено

Пусть первый член равен b₁, а постоянный множитель — q. Тогда второй член равен b₂ = b₁q, третий — b₃ = b₁q², четвёртый — b₄ = b₁q³. На каждом шаге мы умножаем уже полученное число на q, поэтому один и тот же множитель повторяется. Если q положительно, знак ненулевых членов сохраняется; если q отрицательно, при каждом умножении знак меняется.

Чтобы получить формулу любого члена, выразим его через первый: b₂ = b₁q, b₃ = b₂q = b₁q², b₄ = b₃q = b₁q³. Видно, что число множителей q на единицу меньше номера члена: для b₄ их три. Значит, для bₙ будет n − 1 множителей, и получается bₙ = b₁·qⁿ⁻¹. Проверить показатель можно на первом члене: при n = 1 степень равна нулю, поэтому b₁·q⁰ = b₁.

Чтобы выяснить, геометрическая ли перед нами последовательность, сравним отношения соседних членов: b₂/b₁, b₃/b₂ и так далее. Если все отношения одинаковы, это общее число и есть q, а члены связаны одним правилом умножения. Такой способ применим, когда каждый предыдущий член, на который делим, ненулевой. Если встречается ноль, отношение с делением на него не определено, поэтому нельзя объявлять последовательность геометрической только по этим частным.

Формулу суммы можно получить, не складывая члены по одному. Запишем Sₙ = b₁ + b₂ + … + bₙ, а затем умножим равенство на q: qSₙ = b₂ + b₃ + … + bₙ₊₁. При вычитании второго равенства из первого промежуточные члены сокращаются, и остаётся (1 − q)Sₙ = b₁ − bₙ₊₁. Подставив bₙ₊₁ = b₁qⁿ, получим Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), если q ≠ 1. При q = 1 все члены равны b₁, так что сумма состоит из n одинаковых слагаемых и равна n·b₁.

У трёх соседних членов bₙ₋₁, bₙ и bₙ₊₁ один и тот же множитель q: bₙ = bₙ₋₁q, а bₙ₊₁ = bₙq. Поэтому произведение крайних членов равно bₙ₋₁·bₙ₊₁ = bₙ₋₁·bₙq = bₙ². Так получается свойство bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁. Оно верно и при отрицательных членах: знак учитывается в произведении, а квадрат среднего члена неотрицателен.

Основные формулы и свойства геометрической прогрессии

Сначала определи, что требуется найти: отдельный член, сумму или знаменатель, — и выбери соответствующую строку. Перед применением формулы суммы проверь, равен ли q единице. Для проверки самой прогрессии сравни отношения соседних членов, не деля на ноль.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, является ли последовательность 3, −6, 12, −24 геометрической, и указать её знаменатель. Для проверки нужно выяснить, один и тот же множитель переводит каждый член в следующий или нет. Сравним отношения соседних членов, поскольку в данной последовательности предыдущие члены не равны нулю.

1. Разделим второй член на первый: −6/3 = −2.
2. Разделим третий на второй: 12/(−6) = −2.
3. Разделим четвёртый на третий: −24/12 = −2.
4. Все отношения одинаковы, значит, последовательность геометрическая, а её знаменатель q = −2.

Ответ: да, это геометрическая прогрессия; q = −2. Отрицательный знаменатель объясняет чередование знаков членов.

Задача 2. В геометрической прогрессии b₁ = 5 и q = 2. Найти b₆. Чтобы не перемножать каждый член по очереди, применим формулу n-го члена. Особенно внимательно подставим номер: показатель степени на единицу меньше номера.

1. Запишем формулу: bₙ = b₁·qⁿ⁻¹.
2. Подставим b₁ = 5, q = 2 и n = 6: b₆ = 5·2⁶⁻¹ = 5·2⁵.
3. Вычислим степень: 2⁵ = 32, поэтому b₆ = 5·32 = 160.

Ответ: b₆ = 160. Показатель равен пяти, потому что от первого члена до шестого нужно выполнить пять умножений на 2.

Задача 3. Найти сумму первых шести членов прогрессии, если b₁ = 3 и q = 2. Знаменатель не равен единице, поэтому подходит формула суммы при q ≠ 1. Подставим данные и вычислим степень до выполнения остальных действий.

1. Запишем формулу: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
2. Подставим b₁ = 3, q = 2, n = 6: S₆ = 3(2⁶ − 1)/(2 − 1).
3. Вычислим: 2⁶ = 64, поэтому S₆ = 3·63/1 = 189.

Ответ: S₆ = 189. Для проверки можно выписать члены 3, 6, 12, 24, 48, 96 и сложить их: результат тоже равен 189.

Типичные ошибки

• В геометрической прогрессии постоянным является отношение соседних членов, а не их разность. Путаница возникает потому, что в арифметической прогрессии как раз сравнивают разности. Проверь себя: вычисли несколько отношений и несколько разностей — для геометрической прогрессии должны совпадать именно отношения.

• Запись bₙ = b₁·qⁿ содержит лишний множитель q: до n-го члена от первого выполняется не n, а n − 1 переходов. Ошибка появляется, если считать номер члена количеством умножений. Для проверки подставь n = 1: формула должна дать b₁, а правильная запись даёт b₁·q⁰ = b₁.

• Формулу суммы с делением на q − 1 нельзя использовать при q = 1, потому что получится деление на ноль. В этом случае все члены одинаковы, поэтому сумма равна n·b₁. Перед вычислением проверь значение знаменателя и выбери формулу для нужного случая.

• Нельзя находить q делением на предыдущий член, если тот равен нулю: такое частное не определено. Ошибка возникает, когда формулу отношения применяют, не проверяя делитель. Убедись, что делитель ненулевой; если это не так, исследуй условие прогрессии по другим данным и не делай вывод по несуществующему отношению.

Связь с другими темами

Для работы с геометрической прогрессией нужны знания о последовательностях, отношениях чисел, степенях и буквенных формулах. Эти умения помогают распознавать правило и подставлять данные без путаницы в показателях. Геометрические прогрессии описывают ситуации, когда величина за каждый шаг увеличивается или уменьшается в одно и то же число раз. Поэтому они встречаются в задачах о процентах и сложных процентах, например при повторном начислении процентов на уже изменившуюся сумму. Формулы прогрессий пригодятся при дальнейшем изучении сумм последовательностей и показательных зависимостей.

Что запомнить

• В геометрической прогрессии отношение соседних членов постоянно.
• Знаменатель q = bₙ₊₁/bₙ, если bₙ ≠ 0.
• Формула n-го члена: bₙ = b₁·qⁿ⁻¹.
• При q ≠ 1 сумму первых n членов находят по формуле Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
• При q = 1 сумма первых n членов равна n·b₁.
• Для трёх последовательных членов выполняется равенство bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁.