"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г. и др. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г.
Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число. Это число называют разностью и обозначают d: по нему можно понять, растёт последовательность или убывает. Формула n-го члена помогает быстро найти нужное число, а формула суммы — сложить много членов без последовательного сложения. Эти правила применяют в задачах о рядах, накоплениях и числовых закономерностях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Это число не меняется от шага к шагу, поэтому члены связаны простым повторяющимся правилом. Оно помогает распознать прогрессию и продолжить её.
Разность арифметической прогрессии d — число, равное разности любого члена и предыдущего: d = aₙ₊₁ − aₙ. Порядок вычитания здесь важен: из следующего члена вычитают предыдущий. Разность показывает, насколько меняется последовательность за один шаг, и может быть положительной, отрицательной или нулевой.
n-й член арифметической прогрессии aₙ — член последовательности с номером n. Его можно найти по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d, где a₁ — первый член, а d — разность. Формула нужна, когда требуется сразу найти далеко расположенный член, не выписывая все предыдущие.
Сумма первых n членов Sₙ — это сумма a₁ + a₂ + … + aₙ. Её находят по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 или Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n / 2. Первая требует знать последний член, а вторая позволяет обойтись первым членом и разностью.
Из определения сразу следует равенство aₙ₊₁ − aₙ = d. Если перенести aₙ в правую часть, получим рекуррентную запись aₙ₊₁ = aₙ + d; слово «рекуррентная» означает, что новый член выражен через предыдущий. Зная первый член и разность, можно шаг за шагом получить второй, третий и остальные члены. Например, при a₁ = 4 и d = 3 получаем 7, затем 10 и так далее.
Чтобы перейти от a₁ к aₙ, нужно прибавить разность не n, а n − 1 раз. До второго члена — один переход, до третьего — два, и каждый следующий номер добавляет ещё один переход. Поэтому к a₁ прибавляется (n − 1)d, и выходит формула aₙ = a₁ + (n − 1)d. Например, при a₁ = 4 и d = 3 имеем a₅ = 4 + 4 · 3 = 16.
У любого внутреннего члена соседние значения расположены от него на одинаковое расстояние: предыдущий меньше на d, следующий больше на d. Запишем это как aₙ − aₙ₋₁ = d и aₙ₊₁ − aₙ = d; значит, aₙ₊₁ − aₙ = aₙ − aₙ₋₁. После переноса членов получаем 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁, то есть aₙ равен полусумме соседних. Это свойство помогает находить пропущенный член, если известны оба его соседа.
Для вывода суммы обозначим её Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ. Запишем те же слагаемые в обратном порядке: Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁. При сложении двух записей крайние члены образуют пары a₁ + aₙ, следующие — a₂ + aₙ₋₁, и каждая пара имеет ту же сумму, потому что разности по краям взаимно компенсируются. Таких пар n, поэтому 2Sₙ = n(a₁ + aₙ), откуда Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2; подстановка формулы aₙ даёт второй вариант.
Знак d определяет направление изменения членов. При d > 0 к каждому члену прибавляют положительное число, поэтому прогрессия возрастает; при d < 0 прибавляют отрицательное число, и она убывает. Если d = 0, прибавление ничего не меняет, так что все члены равны. Это позволяет заранее проверить, согласуется ли ответ задачи с условием.
| Что рассматриваем | Запись или формула | Что она показывает |
|---|---|---|
| Определение прогрессии | Разность соседних членов постоянна | Правило перехода от одного члена к следующему |
| Разность d | d = aₙ₊₁ − aₙ | Изменение за один шаг |
| Рекуррентная формула | aₙ₊₁ = aₙ + d | Как находить члены по порядку |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Как сразу найти член с номером n |
| Свойство среднего члена | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 | Связь внутреннего члена с соседними |
| Сумма первых n членов | Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n / 2 | Как сложить первые n членов |
| Изменение членов в зависимости от знака d | d > 0 — возрастает; d < 0 — убывает; d = 0 — постоянна | Направление изменения последовательности |
Сначала найдите, какие данные известны: первый член, разность, номер нужного члена или последний член. Затем выберите формулу, в которой не хватает только искомой величины. При работе с суммой проверьте, что n — это именно количество слагаемых.
Первые члены последовательности равны 4, 9, 14, … Определите, является ли она арифметической прогрессией, и найдите её разность. Для проверки сравним изменения между соседними числами: если они равны, первые переходы соответствуют определению. Однако для всей последовательности нужно также убедиться, что это правило продолжается.
Ответ: да, это арифметическая прогрессия; d = 5.
В арифметической прогрессии a₁ = 7 и d = −3. Найдите a₁₂. Воспользуемся формулой n-го члена, поскольку известны первый член, разность и номер искомого члена. Между первым и двенадцатым членами 11 переходов, а каждый из них уменьшает значение на 3.
Ответ: a₁₂ = −26.
В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем ряду на 2 места больше. Сколько мест в 15 рядах вместе? Количество мест по рядам образует арифметическую прогрессию с a₁ = 18 и d = 2. Сначала определим количество мест в пятнадцатом ряду, затем сложим все пятнадцать значений с помощью формулы суммы.
Ответ: в 15 рядах 480 мест.
Подстановка n вместо n − 1. В формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d иногда забывают, что номер первого члена уже равен 1, и считают n шагов. Чтобы проверить себя, проследите переходы: например, до a₄ идут три шага, а не четыре. Значит, множитель при d должен быть 4 − 1.
Неверный порядок вычитания. Разность находят как следующий член минус предыдущий: d = aₙ₊₁ − aₙ. Если вычесть в обратном порядке, получится число с противоположным знаком, и вывод о возрастании или убывании станет неверным. Подставьте найденное d в aₙ₊₁ = aₙ + d и проверьте, получается ли следующий член.
Вывод о прогрессии по нескольким совпадениям. Несколько одинаковых разностей ещё не доказывают постоянство правила во всей последовательности, если остальные члены заданы отдельно. Проверять нужно каждую пару соседних членов, предусмотренную условием. Для бесконечной последовательности важно также убедиться, что правило её задания гарантирует постоянную разность дальше.
Неверная пара в формуле суммы. В выражении Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 складывают первый и последний члены, а не два первых или два последних. Ошибку часто вызывает то, что множитель n воспринимают как номер последнего члена, хотя он обозначает число слагаемых. Перед вычислением подпишите крайние члены и проверьте, что в прогрессии ровно n значений.
Для работы с прогрессией нужны навыки вычитания, в том числе отрицательных чисел, и подстановки значений в буквенные формулы. Прогрессия — частный вид последовательности, а формула aₙ = a₁ + (n − 1)d задаёт линейную зависимость члена от его номера: при увеличении номера на единицу значение меняется на d. Эти идеи помогают изучать геометрическую прогрессию, суммы последовательностей и другие задачи на закономерности.
Как быстро проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?
Вычтите каждый член из следующего и сравните полученные разности. Если они одинаковы для всех соседних пар, последовательность арифметическая. Для проверки по нескольким членам убедитесь, что правило сохраняется и дальше.
Почему в формуле n-го члена используется n − 1, а не n?
От первого члена до второго совершается один переход, до третьего — два, а до n-го — n − 1 переходов. При каждом переходе прибавляется d, поэтому aₙ = a₁ + (n − 1)d.
Может ли разность арифметической прогрессии быть отрицательной?
Да. Например, в последовательности 10, 7, 4, … разность d = 7 − 10 = −3. Отрицательная разность означает, что каждый следующий член меньше предыдущего.
Как найти разность, если известны два члена прогрессии?
Если известны соседние члены, вычтите предыдущий из следующего: d = aₙ₊₁ − aₙ. Если номера членов не соседние, сначала используйте aₙ = a₁ + (n − 1)d и выразите d из равенства. Например, между a₂ и a₅ три шага, поэтому d = (a₅ − a₂) / 3.
Как выбрать формулу суммы, если последний член неизвестен?
Используйте Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n / 2, если известны первый член, разность и число членов. Формула Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2 удобна, когда известен последний член aₙ. При необходимости сначала найдите его по формуле n-го члена.
§ 23. Арифметическая прогрессия
