§ 1. Последовательности и их общие свойства

Определения и обозначения

Числовая последовательность — упорядоченный набор чисел, каждому из которых соответствует натуральный номер. Её обозначают, например, (aₙ), а отдельные числа записывают как a₁, a₂, a₃ и так далее. Порядок важен: он показывает, какое число стоит на каждом месте, и позволяет описывать изменение значений по шагам.

Член последовательности — число, стоящее на определённом месте; aₙ означает член с номером n. Индекс n показывает место числа, а не его значение: например, a₄ — это четвёртый член, каким бы числом он ни оказался. Такое обозначение помогает точно находить и сравнивать нужные элементы последовательности.

Монотонная последовательность — последовательность, члены которой всё время не убывают или не возрастают. Если aₙ₊₁ ≥ aₙ, последовательность называют возрастающей; если aₙ₊₁ ≤ aₙ — убывающей, а если все члены равны — постоянной. Это понятие нужно, чтобы описать направление изменения значений.

Ограниченная последовательность — последовательность, все члены которой заключены между некоторыми границами. Если существует число M, такое что aₙ ≤ M для всех n, она ограничена сверху; если существует m и aₙ ≥ m, то ограничена снизу. Ограниченная последовательность имеет обе границы: m ≤ aₙ ≤ M для каждого допустимого номера.

Как это устроено

Последовательность возникает, когда числа упорядочивают по натуральным номерам: первому числу назначают номер 1, следующему — 2 и так далее. Поэтому последовательность — не просто набор значений: например, записи 2, 5, 8 и 8, 5, 2 задают разные соответствия между числами и номерами. Порядок позволяет говорить о первом, следующем или стоящем через несколько шагов члене.

Удобный способ задания — формула n-го члена, которая сразу связывает значение с номером. Например, для aₙ = 2n − 1, чтобы найти первые члены, подставляем n = 1, 2, 3 и получаем 1, 3, 5. Можно задать последовательность перечислением первых членов, например 1, 3, 5, 7, …; по этому способу видны начало и возможная закономерность, но для вычисления далёкого члена правило должно быть понятно. При рекуррентном задании указывают начальный член и правило перехода, поэтому следующий член находят из предыдущего.

Монотонность проверяют, сравнивая соседние члены: если каждый следующий не меньше предыдущего, последовательность не убывает, а если не больше — не возрастает. Когда формула позволяет, вычисляют разность aₙ₊₁ − aₙ: неотрицательная разность для всех допустимых n подтверждает возрастание, неположительная — убывание. Проверка нескольких первых сравнений лишь подсказывает ответ, потому что правило может измениться дальше. Поэтому вывод нужно обосновать для любого номера n.

Для проверки ограниченности ищут числа m и M, между которыми помещаются все члены. Например, сначала можно оценить выражение, задающее aₙ, а затем проверить, верны ли неравенства m ≤ aₙ ≤ M при каждом допустимом n. Границы не обязаны совпадать с наименьшим и наибольшим значениями последовательности: достаточно, чтобы они подходили всем членам. Если оценка проверена только для нескольких значений n, ограниченность ещё не доказана.

Монотонность и ограниченность описывают разные стороны последовательности, поэтому одно свойство не гарантирует другое. Члены 1, 2, 3, 4, … возрастают, но не ограничены сверху; члены 1, −1, 1, −1, … ограничены числами −1 и 1, но не монотонны. У последовательности 1, 1/2, 1/3, … есть оба свойства: она убывает и лежит между 0 и 1. Значит, каждое свойство следует проверять отдельно.

Основные свойства числовых последовательностей

Пользуйся таблицей как списком условий для проверки: сначала сравни соседние члены, затем отдельно найди верхнюю и нижнюю границы. В примерах указаны возможные границы, но для доказательства нужно убедиться, что неравенства выполняются для всех n. Равенство соседних членов допускается в определениях возрастания и убывания.

Разбор задач

Задача 1. Для последовательности aₙ = 2n − 1 найти первые пять членов и определить, как она задана. Нужно подставить в формулу номера от 1 до 5, потому что номер указывает, какое значение следует вычислить. Формула уже связывает номер и значение, поэтому перечислять предыдущие члены для каждого вычисления не требуется.

1. Подставим n = 1: a₁ = 2 · 1 − 1 = 1.
2. Подставим n = 2, 3, 4, 5: получим a₂ = 3, a₃ = 5, a₄ = 7, a₅ = 9.
3. Запишем найденные значения по порядку и отметим способ задания: каждый член вычисляется по формуле, если известен его номер.

Ответ: первые пять членов — 1, 3, 5, 7, 9; последовательность задана формулой n-го члена aₙ = 2n − 1. Проверка помогает не перепутать номер с результатом: например, при n = 4 значение a₄ равно 7, а не 4. По той же формуле можно найти любой член, подставив его номер.

Задача 2. Проверить, является ли последовательность aₙ = 1/n убывающей и ограниченной. Сначала сравним два соседних члена, а затем отдельно оценим все значения. При n ≥ 1 дроби положительны, и увеличение знаменателя уменьшает значение дроби.

1. Запишем соседний член: aₙ₊₁ = 1/(n + 1).
2. Так как n + 1 больше n при n ≥ 1, то 1/(n + 1) < 1/n, значит, aₙ₊₁ < aₙ и последовательность убывает.
3. Для любого n ≥ 1 выполняется 0 < 1/n ≤ 1. Следовательно, можно взять нижнюю границу 0 и верхнюю границу 1.

Ответ: последовательность убывает и ограничена: 0 < aₙ ≤ 1. Нуль является границей снизу, хотя ни один член не равен нулю. Единица подходит как верхняя граница, потому что первый член равен 1, а все остальные меньше.

Задача 3. Для последовательности a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 2n − 1 вывести формулу n-го члена и исследовать монотонность и ограниченность. Первые члены показывают, сколько прибавляется при каждом переходе, но закономерность нужно затем обосновать для любого n. Разность соседних членов уже дана рекуррентным правилом, поэтому она сразу поможет проверить монотонность.

1. Вычислим начало: a₂ = 1 + 1 = 2, a₃ = 2 + 3 = 5, a₄ = 5 + 5 = 10. Получаем 1, 2, 5, 10, что подсказывает формулу aₙ = (n − 1)² + 1.
2. Обоснуем её: при переходе от aₙ к aₙ₊₁ формула даёт прирост n² − (n − 1)² = 2n − 1, как и задано. При n = 1 формула даёт 1, поэтому она подходит для всей последовательности.
3. Из правила aₙ₊₁ − aₙ = 2n − 1 следует, что разность положительна при n ≥ 1. Значит, последовательность возрастает.
4. При n ≥ 1 имеем aₙ = (n − 1)² + 1 ≥ 1, так что она ограничена снизу числом 1. При этом значения растут без верхней границы, поэтому последовательность не ограничена сверху.

Ответ: aₙ = (n − 1)² + 1; последовательность возрастает, ограничена снизу числом 1 и не ограничена сверху. Проверка формулы через начальный член и прирост доказывает её, а не просто угадывает по нескольким значениям. Вывод об ограниченности сверху подтверждается тем, что при увеличении n выражение (n − 1)² + 1 может становиться сколь угодно большим.

Типичные ошибки

Считать последовательность просто набором чисел — значит забыть, что каждому члену соответствует место. Эту ошибку допускают, потому что сначала обращают внимание на сами значения, а не на их порядок. Проверь себя: если поменять местами два числа, изменится ли то, какой член стоит на каждом номере? Если да, порядок был существенным.

Номер n и значение aₙ — не одно и то же: индекс показывает место, а aₙ обозначает число на этом месте. Путаница появляется, когда запись с индексом принимают за умножение или считают, что член равен своему номеру. Для самопроверки подставь номер в формулу и отдельно запиши получившееся значение, например a₄ = 7.

Выводить монотонность или ограниченность только по нескольким первым членам нельзя. Начало может выглядеть закономерно, но дальнейшие значения способны вести себя иначе; первые члены лишь помогают выдвинуть предположение. Проверь, относится ли твой довод ко всем n: для монотонности сравни соседние члены в общем виде, а для ограниченности докажи общие оценки.

Называть последовательность ограниченной без указания границ или проверки всех членов — неполное обоснование. Иногда подходящая граница видна по первым значениям, но это ещё не подтверждает, что позднее член её не нарушит. Запиши числа m и M и покажи, почему m ≤ aₙ ≤ M верно для каждого допустимого n. Если можешь проверить только отдельные значения, границы пока не доказаны.

Связь с другими темами

Для работы с последовательностями нужно уметь подставлять натуральные числа в формулу и сравнивать полученные значения. Эти действия знакомы по изучению числовых выражений и неравенств: здесь они применяются к членам, расположенным по номерам. Навык исследовать последовательности пригодится при изучении арифметической и геометрической прогрессий, где члены связаны специальными правилами. Он также используется при рассмотрении пределов и закономерностей изменения величин.

Что запомнить

• У каждого члена последовательности есть свой номер.
• Обозначение aₙ означает член с номером n.
• Последовательность можно задавать формулой, перечислением членов или рекуррентным правилом.
• Для проверки монотонности сравнивают соседние члены.
• Ограниченность означает наличие общей границы для всех членов.
• Несколько первых членов помогают заметить закономерность, но сами по себе её не доказывают.