5. График дробно-линейной функции

Определения и обозначения

Дробно-линейная функция — это функция вида y = (ax + b)/(cx + d), где ad − bc ≠ 0. Коэффициенты a, b, c и d задают положение и форму графика. Условие ad − bc ≠ 0 не даёт числителю и знаменателю быть пропорциональными, иначе выражение могло бы сократиться до постоянной функции.

Область определения — все значения x, при которых знаменатель cx + d не равен нулю. Значение x = −d/c при c ≠ 0 из неё исключается. Это сразу показывает, где график имеет разрыв и какую вертикальную прямую нужно учитывать при построении.

Асимптота — прямая, к которой график приближается при приближении аргумента к определённому значению или при удалении точки графика от начала координат. Вертикальная асимптота связана с запрещённым значением x, а горизонтальная — с поведением функции при больших по модулю x. Асимптоты помогают построить график без длинной таблицы значений.

Центр гиперболы — точка пересечения её вертикальной и горизонтальной асимптот. Если асимптоты имеют уравнения x = x₀ и y = y₀, центр равен (x₀; y₀). Относительно этой точки удобно определять положение ветвей.

Как это устроено

При cx + d = 0 деление на знаменатель невозможно, поэтому функция в такой точке не определена. Если c ≠ 0, запрещённое значение равно x₀ = −d/c. При приближении x к x₀ знаменатель становится сколь угодно малым, а числитель не обращается в ноль одновременно из-за условия ad − bc ≠ 0, поэтому значения функции неограниченно увеличиваются по модулю и прямая x = x₀ становится вертикальной асимптотой.

Чтобы увидеть знакомый график, при c ≠ 0 выделим отношение старших коэффициентов: y − a/c = (bc − ad)/(c²(x + d/c)). Поэтому y = k/(x − x₀) + y₀, где x₀ = −d/c, y₀ = a/c, k = (bc − ad)/c². Это тот же график y = 1/x, но его сдвинули на x₀ по горизонтали, на y₀ по вертикали и растянули или отразили с помощью множителя k.

У функции y = k/(x − x₀) + y₀ знаменатель стремится к нулю при x → x₀, поэтому график приближается к прямой x = x₀. При |x|, стремящемся к бесконечности, дробная часть k/(x − x₀) стремится к нулю, и y приближается к y₀. Значит, асимптоты имеют уравнения x = x₀ и y = y₀, а их пересечение (x₀; y₀) является центром гиперболы.

Знак k определяет, по какие стороны от центра направлены ветви. При k > 0 величины x − x₀ и y − y₀ имеют одинаковые знаки: ветви расположены в верхней правой и нижней левой областях относительно центра. При k < 0 эти величины имеют разные знаки, поэтому ветви находятся в верхней левой и нижней правой областях.

Случай c = 0 устроен иначе: знаменатель равен постоянному ненулевому числу d, и дробь превращается в y = (a/d)x + b/d. Здесь нет запрещённого x, вертикальной или горизонтальной асимптоты, а график является прямой. При c ≠ 0 получается именно гипербола, поскольку в формуле остаётся ненулевая дробная часть.

Свойства дробно-линейной функции

Таблица позволяет сначала определить тип графика по коэффициенту c, а затем быстро выписать его основные свойства. В столбце для c ≠ 0 значения x₀ и y₀ находят по формулам −d/c и a/c. Для построения достаточно использовать асимптоты, центр и знак k.

Разбор задач

Задача 1

Построить график функции y = (3x − 2)/(x + 1), указать область определения, асимптоты и центр гиперболы.

1. Знаменатель равен нулю при x = −1, поэтому x₀ = −1. Делим числитель и знаменатель по описанной схеме или выделяем постоянную часть: y = 5 − 5/(x + 1) = −5/(x − (−1)) + 5.
2. Отсюда k = −5, y₀ = 5. Вертикальная асимптота x = −1, горизонтальная асимптота y = 5, центр C(−1; 5).
3. Так как k < 0, ветви находятся в верхней левой и нижней правой областях относительно центра. Наносим асимптоты и несколько точек, после чего проводим две ветви, приближающиеся к этим прямым.

Ответ: область определения x ≠ −1; асимптоты x = −1 и y = 5; центр C(−1; 5); график — гипербола с k = −5.

Задача 2

Составить уравнение функции с асимптотами x = 2 и y = −1, проходящей через точку (3; 4).

1. Формула должна иметь вид y = k/(x − 2) − 1, потому что вертикальная асимптота задаёт знаменатель, а горизонтальная — постоянную часть.
2. Подставляем координаты точки: 4 = k/(3 − 2) − 1. Получаем 5 = k.
3. Подставляем найденное значение параметра в формулу. Проверка даёт y = 5/1 − 1 = 4, поэтому точка действительно принадлежит графику.

Ответ: y = 5/(x − 2) − 1.

Задача 3

Найти формулу функции с асимптотами x = −1 и y = 2, проходящей через точку (1; 3), а затем промежутки её положительности.

1. Записываем y = k/(x + 1) + 2. По точке получаем 3 = k/2 + 2, откуда k = 2, значит y = 2/(x + 1) + 2 = 2(x + 2)/(x + 1).
2. Для положительности решаем 2(x + 2)/(x + 1) > 0. Критические точки: −2 — нуль числителя, −1 — запрещённое значение.
3. Знак дроби положителен, когда числитель и знаменатель имеют один знак. Поэтому подходят интервалы x < −2 и x > −1; точка −2 не входит из-за строгого неравенства, а −1 запрещена.

Ответ: y = 2/(x + 1) + 2; функция положительна при x ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; +∞).

Типичные ошибки

В область определения иногда включают значение, при котором знаменатель равен нулю, потому что проверяют только числитель. Но деление на ноль невозможно независимо от числителя. Проверьте себя: решите cx + d = 0 и вычеркните найденное значение.

Вертикальную асимптоту x = x₀ путают с горизонтальной y = y₀, так как обе получают из одной формулы. Буква x в уравнении означает вертикальную прямую, а буква y — горизонтальную. Полезно помнить: x₀ запрещается, а y₀ не достигается функцией.

График строят как y = 1/x, забывая о сдвигах и коэффициенте k. Из-за этого неправильно находят центр и стороны расположения ветвей. Сначала приведите выражение к виду y = k/(x − x₀) + y₀ и только потом переносите график.

При отрицательном k ветви иногда оставляют в тех же областях, что и при положительном. Это неверно: знак произведения (x − x₀)(y − y₀) совпадает со знаком k. Проверьте положение одной точки по формуле, например взяв x немного правее x₀.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны график y = 1/x, правила преобразования графиков и действия с рациональными выражениями. При решении задач используются линейные и рациональные уравнения и неравенства, включая метод интервалов. Позже дробно-линейные графики помогут изучать рациональные функции, пределы и асимптоты в математическом анализе.

Что запомнить

• Дробно-линейная функция задаётся формулой y = (ax + b)/(cx + d), где ad − bc ≠ 0.
• Значения, при которых знаменатель равен нулю, исключаются из области определения.
• При c ≠ 0 функцию можно привести к виду y = k/(x − x₀) + y₀.
• График при c ≠ 0 — гипербола с асимптотами x = x₀ и y = y₀.
• Центр гиперболы имеет координаты (x₀; y₀).
• Знак k определяет, в каких противоположных областях относительно центра расположены ветви.
• При c = 0 график дробно-линейного выражения является прямой.