6. Построение графиков функций, выражение которых содержит знак модуля

Определения и обозначения

Модуль выражения — неотрицательное значение выражения: оно равно самому выражению, если выражение неотрицательно, и противоположному числу, если выражение отрицательно. Например, |−5| = 5, а |3| = 3. Это правило позволяет понять, какую формулу использовать на каждом промежутке.

График функции y = |f(x)| получают заменой отрицательных ординат графика y = f(x) их противоположными значениями. Иными словами, точки ниже оси Ox переносят на такое же расстояние выше неё, а остальные точки не меняют. Такое определение сразу подсказывает способ построения.

График функции y = f(|x|) симметричен относительно оси Oy и строится по правой половине графика y = f(x). Причина в том, что числа x и −x после взятия модуля превращаются в одно и то же число. Поэтому достаточно построить значения при x ≥ 0 и отразить их влево.

Кусочно заданная функция — функция, формула которой различна на разных промежутках области определения. При раскрытии модуля, например, одна формула действует там, где выражение под модулем положительно, а другая — там, где оно отрицательно. Такая запись помогает точно описать график и вычислять значения.

Как это устроено

Если f(x) ≥ 0, то |f(x)| = f(x), поэтому точка графика уже находится не ниже оси Ox и остаётся на месте. Если f(x) < 0, то |f(x)| = −f(x), а отрицательная ордината меняет знак на положительную. Геометрически это отражение точки относительно оси Ox, потому что расстояние до этой оси сохраняется.

Чтобы раскрыть модуль |g(x)|, сначала находят значения x, при которых g(x) = 0. Эти точки делят числовую прямую на промежутки, внутри которых знак g(x) не меняется. На промежутке с плюсом пишут |g(x)| = g(x), а на промежутке с минусом — |g(x)| = −g(x); в самих нулях оба выражения дают одно и то же значение.

В записи y = f(|x|) при замене x на −x получается y = f(|−x|) = f(|x|). Значит, каждой точке с координатами (x; y) соответствует точка (−x; y), имеющая ту же высоту. Именно равенство значений при противоположных аргументах, а не отражение относительно Ox, создаёт симметрию относительно Oy.

Для построения y = f(|x|) сначала рассматривают только x ≥ 0, потому что |x| всегда неотрицателен. На правой половине графика y = f(x) сохраняют все точки, допустимые для исходной функции. Затем каждую такую точку отражают относительно оси Oy, получая левую половину нового графика.

При нескольких модулях действия выполняют по очереди, отслеживая знаки на каждом шаге. Например, в y = |f(|x|)| внутренний модуль сначала меняет аргумент и создаёт симметрию относительно Oy, а внешний затем устраняет отрицательные ординаты. Нули и промежутки знакопостоянства помогают не потерять участки, где формула должна измениться.

Правила построения графиков функций с модулем

Таблица показывает, какое преобразование соответствует каждому виду записи. Сначала определите, где находится модуль: вокруг всей функции или только у аргумента, а затем проверьте область определения исходной функции.

Разбор задач

Задача 1. Построить график y = |x − 2|

Исходным является график прямой y = x − 2. Нужно выяснить, где её ординаты отрицательны, потому что только этот участок изменится после взятия модуля.

1. Найдём ноль выражения под модулем: x − 2 = 0, откуда x = 2.
2. При x ≥ 2 выражение x − 2 неотрицательно, поэтому y = |x − 2| = x − 2.
3. При x < 2 выражение отрицательно, поэтому y = |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x.
4. На исходной прямой часть левее точки (2; 0) расположена ниже оси Ox. Отражаем её вверх, а правую часть оставляем.

Ответ: y = 2 − x при x < 2 и y = x − 2 при x ≥ 2. График состоит из двух лучей с вершиной в точке (2; 0).

Задача 2. Построить график y = |x² − 4|

Здесь под модулем стоит квадратный трёхчлен, поэтому сначала определим его нули и знак. Это позволит понять, какую часть параболы y = x² − 4 нужно отражать.

1. Решаем x² − 4 = 0: получаем x = −2 и x = 2.
2. Так как ветви параболы направлены вверх, x² − 4 положительно при x < −2 и x > 2, а отрицательно при −2 < x < 2.
3. На внешних промежутках y = |x² − 4| = x² − 4. Внутри отрезка [−2; 2] получаем y = −(x² − 4) = 4 − x².
4. Следовательно, участок исходной параболы ниже оси Ox отражается вверх, а точки пересечения с осью Ox, (−2; 0) и (2; 0), остаются общими.

Ответ: y = x² − 4 при x ≤ −2 или x ≥ 2; y = 4 − x² при −2 ≤ x ≤ 2. Новый график расположен не ниже оси Ox.

Задача 3. Построить график y = |sin(|x|)| и описать его симметрию и периодичность

В выражении два модуля, поэтому применим правила последовательно. Внутренний модуль меняет аргумент синуса, а внешний — знак полученного значения.

1. Сначала строим y = sin(|x|): берём правую часть графика y = sin x при x ≥ 0 и отражаем её относительно оси Oy.
2. Затем строим модуль от полученной функции. Все участки синусоиды ниже оси Ox отражаем вверх, поэтому значения становятся неотрицательными.
3. Для точной записи можно отметить, что при x ≥ 0 функция равна |sin x|, а при x < 0 используется равенство |x| = −x; итоговая функция чётная.
4. График |sin x| повторяется через π, поскольку |sin(x + π)| = |−sin x| = |sin x|.

Ответ: график симметричен относительно оси Oy, принимает только неотрицательные значения и имеет период π. Он состоит из одинаковых «дуг» синусоиды, расположенных над осью Ox.

Типичные ошибки

Отражают весь график при построении y = |f(x)|. Так делают, забывая, что положительные значения модуля не меняются. Проверьте любую точку выше оси Ox: её координата y должна остаться прежней.

Строят y = f(|x|) симметрично относительно оси Ox. Замена аргумента создаёт пары точек с координатами x и −x, поэтому нужна симметрия относительно Oy. Проверьте равенство значений при противоположных аргументах.

Не находят нули выражения под модулем. Без них трудно определить промежутки, где выражение меняет знак, и формула получается неверной. Отметьте все решения уравнения g(x) = 0 на числовой прямой и проверьте знак в каждом промежутке.

Путают y = |f(x)| и y = f(|x|). В первом случае меняются ординаты, а во втором — аргументы функции. Чтобы проверить себя, спросите: модуль стоит вокруг всего значения функции или только возле x?

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение модуля, преобразования графиков, область определения и исследование знака выражения. Полученные правила помогают строить графики кусочно заданных функций, а также решать уравнения и неравенства с модулем. При изучении производной графики с модулем позволяют увидеть точки излома, в которых функция может быть недифференцируема.

Что запомнить

• Модуль функции не может принимать отрицательных значений.
• Для y = |f(x)| отрицательные ординаты отражают относительно оси Ox.
• Для y = f(|x|) используют правую половину исходного графика и отражают её относительно оси Oy.
• Перед раскрытием модуля нужно найти нули выражения под знаком модуля.
• График y = f(|x|) всегда симметричен относительно оси Oy.
• Несколько модулей раскрывают последовательно, применяя соответствующее правило на каждом шаге.