§ 3. Элементарное исследование функций

Определения и обозначения

Область определения функции — все значения аргумента x, при которых выражение функции имеет смысл. Её обозначают D(f). Она показывает, какие числа разрешено подставлять в формулу, поэтому с неё начинают любое исследование.

Множество значений функции — все значения y, которые функция принимает на своей области определения; его обозначают E(f). Например, у функции y = x² значение y не бывает отрицательным, поэтому E(f) = [0; +∞). Это свойство помогает понять вертикальный охват графика.

Нули функции — значения аргумента, при которых f(x) = 0. Иными словами, нуль — это число x, а не результат вычисления y. На графике нули соответствуют точкам пересечения с осью Ox.

Монотонность функции — характер её изменения на заданном промежутке: функция возрастает или убывает. При возрастании большему x соответствует большее значение f(x), при убывании — меньшее. Монотонность позволяет предсказывать поведение графика и находить экстремумы.

Как это устроено

Цель исследования — получить связное описание функции и по нему построить или проверить график. Обычно идут от допустимых x к значениям y, затем выясняют нули, знаки, монотонность и особые свойства. Такой порядок удобен: каждое найденное ограничение используется на следующих шагах и не допускает лишних точек.

Область определения находят непосредственно по формуле: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение чётной степени неотрицательно, аргумент логарифма положителен. Если функция задана графиком, область определения — проекция графика на ось Ox, а множество значений — его проекция на ось Oy. По формуле множество значений получают преобразованиями, решением уравнения y = f(x) или анализом графика.

Нули находят решением уравнения f(x) = 0, причём найденные корни должны входить в область определения. Если выражение разложено на множители, достаточно приравнять к нулю допустимые множители, а затем исследовать знак каждого из них. На графике функция положительна выше оси Ox, отрицательна ниже, а точки на оси дают нули.

Промежутки возрастания и убывания определяют сравнением значений, по таблице или по направлению графика слева направо. Точка максимума возникает, когда после возрастания функция начинает убывать, а точка минимума — когда убывание сменяется возрастанием. При этом указывают не только значение аргумента, но и соответствующее значение функции, если требуется координата точки.

Чётность и нечётность связаны с симметрией: чётный график симметричен относительно оси Oy, нечётный — относительно начала координат. Периодичность означает повторение значений через ненулевой период T, а ограниченность — наличие общей верхней или нижней границы. Эти свойства сокращают работу при построении: достаточно исследовать часть графика и затем восстановить остальное.

План элементарного исследования функции

Таблица служит кратким алгоритмом: двигайтесь сверху вниз и фиксируйте результат каждого шага. Если функция задана графиком, используйте чтение координат; если формулой — выполняйте необходимые преобразования и проверяйте ограничения.

Разбор задач

Задача 1

Исследуем функцию f(x) = √(2x − 1)/(x − 3): найдём область определения, нули и промежутки знакопостоянства. Ограничения возникают и из-за корня, и из-за знаменателя. После этого знак дроби определяют по числителю и знаменателю.

1. Из условия 2x − 1 ≥ 0 получаем x ≥ ½. Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому x ≠ 3.
2. Следовательно, D(f) = [½; 3) ∪ (3; +∞). Числитель равен нулю при x = ½, а знаменатель в этой точке не равен нулю, значит это нуль функции.
3. При x > ½ корень положителен. На [½; 3) знаменатель отрицателен, поэтому f(x) ≤ 0, причём строго отрицательна на (½; 3); на (3; +∞) дробь положительна.

Ответ: D(f) = [½; 3) ∪ (3; +∞); нуль x = ½; f(x) < 0 на (½; 3), f(x) > 0 на (3; +∞).

Задача 2

Проведём элементарное исследование функции f(x) = x³ − 3x и подготовим данные для графика. Это многочлен, поэтому ограничений на x нет. Разложение на множители и сравнение значений на промежутках дают основные сведения о пересечениях и форме кривой.

1. D(f) = R. Нули: x³ − 3x = x(x − √3)(x + √3), поэтому x = −√3, 0, √3.
2. Знак меняется при переходе через каждый простой корень: f(x) < 0 на (−∞; −√3) и (0; √3), f(x) > 0 на (−√3; 0) и (√3; +∞).
3. По графику или сравнению значений функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1). В точке x = −1 находится максимум f(−1) = 2, а в точке x = 1 — минимум f(1) = −2.
4. Проверка f(−x) = −f(x) показывает нечётность. Отмечаем нули, точки (−1; 2) и (1; −2), симметрию относительно начала координат и соединяем их с учётом монотонности.

Ответ: функция нечётная, D(f) = R; нули −√3, 0, √3; максимум 2 при x = −1, минимум −2 при x = 1.

Задача 3

Исследуем f(x) = 2 + |x − 1|: найдём множество значений, монотонность и наименьшее значение. Модуль меняет вид формулы в точке x = 1, поэтому область разбивают этой точкой. На каждом участке получается линейная функция.

1. При x < 1 имеем |x − 1| = 1 − x, значит f(x) = 3 − x; при x ≥ 1 имеем |x − 1| = x − 1, значит f(x) = x + 1.
2. На промежутке (−∞; 1) функция убывает, а на (1; +∞) возрастает. В вершине при x = 1 значение равно 2.
3. Меньше 2 функция не бывает, поэтому E(f) = [2; +∞), а наименьшее значение равно 2.

Ответ: f убывает на (−∞; 1), возрастает на (1; +∞), имеет минимум f(1) = 2, E(f) = [2; +∞).

Типичные ошибки

В область определения иногда включают запрещённые значения, потому что проверяют только часть формулы. Нужно отдельно выписать условия для знаменателей, корней и логарифмов, а затем пересечь полученные множества.

Нули функции путают со значениями функции: записывают y = 0 вместо значения x. Проверка проста: подставьте найденное число именно в f(x) и убедитесь, что результат равен нулю.

Функцию называют возрастающей по одному участку графика, не указывая промежуток. Свойство монотонности всегда записывают вместе с границами, иначе утверждение неполно.

Чётность определяют только по похожей на симметричную картинке. Сначала проверьте симметрию области определения относительно нуля, затем вычислите f(−x) и сравните с f(x).

Связь с другими темами

До исследования нужны понятия функции, области определения, координатной плоскости, уравнений и неравенств. Навык опирается на преобразования графиков элементарных функций и чтение координат.

Найденные свойства применяют при построении графиков, решении уравнений и неравенств. Позже такой анализ станет основой для изучения производной, с помощью которой монотонность и экстремумы находят более общим способом.

Что запомнить

• Исследование функции начинают с области определения.
• Нули функции находят из уравнения f(x) = 0.
• Знак функции определяют по формуле или по положению графика относительно оси Ox.
• Промежутки возрастания и убывания всегда указывают вместе с их границами.
• Точка экстремума связана со сменой характера монотонности.
• Для проверки чётности сравнивают f(−x) и f(x), а для периодичности проверяют f(x + T) = f(x).
• График должен согласовываться со всеми найденными свойствами функции.