1. Четные и нечетные функции

Определения и обозначения

Чётная функция имеет область определения, симметричную относительно нуля, и для любого допустимого x выполняет равенство f(−x) = f(x). Это значит, что противоположным аргументам соответствуют одинаковые значения. Такое свойство помогает заранее увидеть симметрию графика.

Нечётная функция тоже должна быть задана на симметричной относительно нуля области определения, но для неё f(−x) = −f(x). Значения в точках x и −x противоположны по знаку. Это позволяет распознавать функции вроде x³ и sin x.

Симметрия относительно оси ординат означает, что левая и правая части графика зеркально совпадают при отражении в оси y. Это геометрический признак чётности: точке (x; y) соответствует точка (−x; y). По графику такое свойство иногда заметить быстрее, чем по формуле.

Симметрия относительно начала координат означает, что при повороте графика на 180° вокруг точки (0; 0) он совпадает с собой. Это геометрический признак нечётности: точке (x; y) соответствует точка (−x; −y). Так удобно узнавать нечётные функции по изображению.

Как это устроено

Симметричность области определения нужна потому, что в определениях одновременно встречаются аргументы x и −x. Если функция определена при x, но не определена при −x, сравнение f(x) и f(−x) невозможно. Например, область (0; +∞) несимметрична относительно нуля, поэтому функцию на такой области нельзя назвать чётной или нечётной по стандартному определению.

Проверка по формуле начинается с замены каждого x на −x. После упрощения получают выражение f(−x), а затем сравнивают его с исходной формулой f(x) и с противоположным выражением −f(x). Совпадение с первым выражением означает чётность, со вторым — нечётность; отсутствие обоих совпадений даёт третий вариант.

У чётной функции значения в симметричных точках одинаковы: f(x) = f(−x). Поэтому на графике точки (x; f(x)) и (−x; f(x)) находятся на одинаковой высоте и отражаются друг в друга относительно оси ординат. Например, для y = x² точки (2; 4) и (−2; 4) образуют такую пару.

У нечётной функции значения противоположны: f(−x) = −f(x). Значит, если на графике есть точка (x; y), то есть и точка (−x; −y), полученная поворотом вокруг начала координат. Так ведёт себя график y = x³: точки (2; 8) и (−2; −8) соответствуют друг другу.

Чётность сохраняется при сложении, вычитании и умножении по определённым правилам. Сумма или разность двух чётных функций чётна, сумма или разность двух нечётных функций нечётна; произведение двух чётных и двух нечётных функций чётно, а произведение чётной и нечётной функций нечётно. Функция может не подходить ни под один тип, если область определения несимметрична или оба равенства нарушаются; нулевая функция является и чётной, и нечётной, потому что 0 = −0.

Признаки чётных и нечётных функций

В таблице сначала проверяйте область определения, а затем алгебраическое равенство. Если оба условия выполнены, симметрию можно подтвердить по графику. Отсутствие одного из равенств означает, что функция не относится к соответствующему типу.

Разбор задач

Задача 1. Многочлен

Определим, является ли f(x) = x⁴ − 3x² + 1 чётной или нечётной. Область определения многочлена — все действительные числа, а она симметрична относительно нуля. Значит, остаётся выполнить алгебраическую проверку.

1. Заменим x на −x: f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² + 1.
2. Упростим: f(−x) = x⁴ − 3x² + 1 = f(x).
3. Равенство с f(x) выполнено, а проверять нечётность уже не требуется.

Ответ: функция чётная. Все степени переменной в её записи чётные, поэтому замена x на −x ничего не меняет.

Задача 2. Дробно-рациональная функция

Исследуем f(x) = (x³ + 2x)/(x² − 4). Сначала учитываем знаменатель: x² − 4 ≠ 0, поэтому x ≠ −2 и x ≠ 2. Полученная область определения симметрична, так что сравнение возможно.

1. Числитель x³ + 2x нечётный: при замене x на −x он меняет знак.
2. Знаменатель x² − 4 чётный: его значение при −x такое же, как при x.
3. Тогда f(−x) = (−x³ − 2x)/(x² − 4) = −f(x).

Ответ: функция нечётная. Ограничения x = ±2 не мешают выводу, потому что область определения сохраняется при замене x на −x.

Задача 3. Параметр

Найдём a, при котором f(x) = (x² + ax + 1)/(x² + 1) будет чётной. Знаменатель всегда положителен, поэтому область определения — все действительные числа и симметрична. Нужно добиться равенства f(−x) = f(x).

1. Запишем f(−x) = (x² − ax + 1)/(x² + 1).
2. Знаменатели одинаковы, поэтому равенство дробей требует x² − ax + 1 = x² + ax + 1.
3. Получаем −ax = ax для всех x, то есть 2ax = 0 при любом x.
4. Следовательно, a = 0. При этом числитель становится чётным выражением x² + 1.

Ответ: a = 0. При любом другом значении параметра в формуле остаётся нечётный член ax, нарушающий чётность.

Типичные ошибки

Проверяют только f(−x) = f(x). Так можно пропустить несимметричную область определения, где понятие чётности неприменимо. Сначала выпишите область и проверьте: если x допустим, должно быть допустимо и −x.

Считают функцию нечётной при любом отличии f(−x) от f(x). Для нечётности требуется точное равенство f(−x) = −f(x), а не просто другое выражение. Сравните результат именно с противоположным исходным значением.

Путают виды симметрии. Чётность связана с отражением относительно оси ординат, а нечётность — с поворотом вокруг начала координат. Проверьте, сохраняется ли y или одновременно меняются знаки x и y.

Исследуют дробь по отдельным частям и забывают ограничения. Даже правильные свойства числителя и знаменателя нельзя использовать без области, где знаменатель не равен нулю. В конце проверьте, что исключённые значения образуют симметричные пары.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь находить область определения, подставлять выражение вместо аргумента и преобразовывать многочлены и дроби. Без этих навыков легко ошибиться уже на первом шаге проверки.

Чётность и нечётность помогают исследовать и строить графики: зная одну половину графика, иногда можно восстановить вторую по симметрии. Это сокращает число вычислений и делает исследование нагляднее.

Свойства особенно часто встречаются при изучении тригонометрических функций, преобразований графиков и интегрирования. Они помогают упрощать выражения и учитывать симметрию промежутков и графиков.

Что запомнить

• Для проверки сначала находят область определения и проверяют её симметрию относительно нуля.
• Чётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = f(x).
• Нечётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = −f(x).
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
• График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
• Функция может быть ни чётной, ни нечётной.
• Нулевая функция одновременно чётная и нечётная.