2. Возрастание и убывание функций

Определения и обозначения

Возрастающая функция — функция, у которой большему значению аргумента на рассматриваемом промежутке соответствует большее значение функции: если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂). Такое сравнение показывает, что функция движется вверх по мере увеличения x. По этому признаку можно доказать возрастание без построения графика.

Убывающая функция — функция, у которой большему значению аргумента соответствует меньшее значение: при x₁ < x₂ выполняется f(x₁) > f(x₂). Значит, увеличение аргумента приводит к уменьшению результата. Это определение помогает проверять направление изменения функции на выбранном промежутке.

Монотонная функция сохраняет один характер изменения: на рассматриваемом промежутке она либо только возрастает, либо только убывает. Иногда говорят также о нестрогой монотонности, когда значения могут оставаться равными. Понятие нужно, чтобы описывать поведение функции целиком, а не отдельные участки её графика.

Промежуток монотонности — промежуток области определения, на котором функция возрастает или убывает. Один и тот же закон может иметь несколько таких промежутков. Поэтому при ответе обязательно указывают не только направление изменения, но и все значения x, для которых оно выполняется.

Как это устроено

Чтобы проверить характер изменения функции, берут два аргумента x₁ и x₂ из рассматриваемого промежутка и располагают их так: x₁ < x₂. Затем сравнивают соответствующие значения f(x₁) и f(x₂). Если меньшему аргументу соответствует меньшее значение, функция возрастает; если большее — убывает, потому что направление изменения результата совпадает или противоположно направлению изменения аргумента.

В строгих определениях используются неравенства f(x₁) < f(x₂) и f(x₁) > f(x₂). Знак < или > требует, чтобы значения действительно изменились при любом увеличении аргумента. Если допускается равенство, получают неубывающую функцию f(x₁) ≤ f(x₂) или невозрастающую функцию f(x₁) ≥ f(x₂): на некоторой части промежутка график может быть горизонтальным.

Промежуток нужно указывать, потому что направление изменения не обязано быть одинаковым на всей области определения. Например, y = x² слева от нуля уменьшается при движении к вершине, а справа от нуля увеличивается. Если написать только «функция возрастает» без промежутка, утверждение будет неполным или неверным.

График передаёт тот же смысл наглядно. При движении слева направо по возрастающему участку высота графика, то есть значение y, увеличивается. На убывающем участке график опускается; вертикальные скачки, разрывы и точки, где формула не определена, разделяют разные промежутки исследования.

По формуле можно сравнить значения напрямую: составляют разность f(x₂) − f(x₁) при условии x₁ < x₂. Если разность всегда положительна на выбранном промежутке, функция возрастает, если всегда отрицательна — убывает. Сначала проверяют область определения, затем выбирают промежуток без запрещённых точек и исследуют знак получившегося выражения.

Признаки возрастания и убывания функции

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом проверки: сначала зафиксируйте x₁ < x₂, затем сравните значения или знак их разности. Все признаки описывают одно и то же свойство, поэтому достаточно применить тот способ, который удобнее для данной формулы или графика.

Разбор задач

Задача 1. Доказать, что функция f(x) = 3x − 5 возрастает на всей числовой прямой

Нужно проверить определение для любых двух чисел x₁ и x₂, где x₁ < x₂. Линейная формула определена при всех действительных x, поэтому дополнительных ограничений нет. Выберем сравнение через разность значений.

1. Пусть x₁ < x₂.
2. Вычислим разность: f(x₂) − f(x₁) = (3x₂ − 5) − (3x₁ − 5) = 3(x₂ − x₁).
3. Так как x₂ − x₁ > 0 и 3 > 0, получаем f(x₂) − f(x₁) > 0.

Следовательно, f(x₁) < f(x₂) при любых x₁ < x₂. Ответ: функция возрастает на всей числовой прямой.

Задача 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x² − 4

Область определения — вся числовая прямая, но характер изменения меняется в вершине параболы, при x = 0. Поэтому разделим прямую на два участка и проверим знак разности.

1. Если x₁ < x₂ ≤ 0, то f(x₂) − f(x₁) = x₂² − x₁² = (x₂ − x₁)(x₂ + x₁) < 0, значит функция убывает.
2. Если 0 ≤ x₁ < x₂, то оба множителя в произведении (x₂ − x₁)(x₂ + x₁) положительны, поэтому разность больше нуля и функция возрастает.

Ответ: функция убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞). Число −4 сдвигает график вниз, но не влияет на промежутки монотонности.

Задача 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = (x + 1)/(x − 2)

Сначала исключим x = 2: в этой точке знаменатель равен нулю. Затем сравним значения на каждом из двух промежутков области определения, не переходя через точку разрыва.

1. При x₁ < x₂ вычислим f(x₂) − f(x₁) = −3(x₂ − x₁)/((x₂ − 2)(x₁ − 2)).
2. На (−∞; 2) оба множителя знаменателя отрицательны, а их произведение положительно. Числитель отрицателен, поэтому разность отрицательна.
3. На (2; +∞) оба множителя знаменателя положительны, а числитель по-прежнему отрицателен. Разность снова отрицательна.

Ответ: функция убывает на (−∞; 2) и на (2; +∞). Точка x = 2 не входит ни в один промежуток, так как функция там не определена.

Типичные ошибки

Сравнивать значения при x₁ > x₂. В таком порядке меняется направление рассуждения, и легко перепутать знак. Запишите сначала x₁ < x₂, а затем подставляйте числа или выражения.

Называть функцию возрастающей по отдельным точкам. Несколько поднявшихся точек не доказывают свойство всего промежутка. Проверьте каждый участок между точками и укажите его границы.

Путать возрастание с положительностью. Функция может возрастать, оставаясь отрицательной, потому что сравнивают не знак значения, а его изменение. Спросите себя, увеличивается ли f(x) при увеличении x.

Не исключать запрещённые точки. В дробной функции знаменатель не может быть равен нулю, поэтому такая точка разделяет промежутки. Сначала выпишите область определения, а уже потом составляйте ответ о монотонности.

Связь с другими темами

Для изучения монотонности нужны понятия функции, аргумента, значения функции и области определения, а также умение сравнивать выражения. Без области определения нельзя правильно указать границы промежутков.

График позволяет быстро увидеть изменение функции слева направо: подъём означает возрастание, а спуск — убывание. При этом графический вывод полезно подтверждать вычислениями, особенно если есть разрывы или близкие участки.

Дальше монотонность исследуют с помощью производной. Она помогает находить промежутки возрастания и убывания, экстремумы и строить более точные графики функций.

Что запомнить

• При x₁ < x₂ возрастающая функция удовлетворяет неравенству f(x₁) < f(x₂).
• При x₁ < x₂ убывающая функция удовлетворяет неравенству f(x₁) > f(x₂).
• Возрастание и убывание всегда рассматриваются на определённом промежутке.
• Одна функция может иметь разные промежутки возрастания и убывания.
• На графике возрастающей функции при движении слева направо значения y увеличиваются.
• При исследовании монотонности сначала учитывают область определения.
• Для доказательства монотонности удобно исследовать разность f(x₂) − f(x₁).