§ 11. Четные и нечетные функции

Определения и обозначения

Функция называется чётной, если для каждого x из её области определения число −x тоже принадлежит области и f(−x) = f(x). Иными словами, противоположные аргументы дают одинаковые значения функции. Это определение позволяет проверить свойство по формуле и затем понять, как устроен график.

Функция называется нечётной, если для каждого x из области определения число −x также принадлежит области и f(−x) = −f(x). При противоположных аргументах значения такой функции противоположны по знаку. Это равенство помогает распознать центральную симметрию графика и отличить её от симметрии относительно оси.

Область определения — множество всех значений аргумента, для которых формула функции имеет смысл. Она симметрична относительно нуля, если вместе с каждым числом x содержит и число −x. Такая симметрия необходима для чётности и нечётности: иначе равенство для пары противоположных аргументов нельзя проверить на всей области.

Как это устроено

Проверку начинают с области определения, потому что определения чётной и нечётной функции относятся ко всем x из неё. Если, например, в область входит 2, а −2 не входит, сравнить f(2) и f(−2) нельзя. Поэтому при нессимметричной относительно нуля области проверку формулы можно не продолжать: функция не будет ни чётной, ни нечётной.

Если область симметрична, подставляют −x вместо аргумента во всю формулу. Затем упрощают выражение и сопоставляют его с f(x) и −f(x). Так проверяются именно равенства из определений, а не отдельные значения функции; совпадение для нескольких выбранных x ещё не доказывает свойство для всех x.

У чётной функции f(−x) = f(x), поэтому точкам графика (x, f(x)) соответствуют точки (−x, f(x)). Их координаты отличаются только знаком первой координаты, а такие точки зеркально расположены относительно оси ординат. Значит, если известна одна половина графика чётной функции, вторую можно получить отражением относительно этой оси.

У нечётной функции f(−x) = −f(x), поэтому точке (x, f(x)) соответствует точка (−x, −f(x)). При таком переходе меняют знаки обе координаты, то есть выполняют поворот на 180° вокруг начала координат. Если x = 0 входит в область, подстановка даёт f(0) = −f(0), откуда f(0) = 0.

Функция не обязана быть чётной или нечётной: для некоторых формул подстановка −x не даёт ни f(x), ни −f(x). Например, у f(x) = x + 1 получаем f(−x) = 1 − x, что не равно ни x + 1, ни −x − 1 для всех x. Поэтому нельзя выбирать между двумя видами только по внешнему виду формулы или графика.

Как различать чётные и нечётные функции

Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверок: сначала оцените область определения, затем подставьте −x и проверьте равенство. Симметрия графика помогает запомнить результат, но не заменяет доказательство по формуле. Строка о значении в нуле относится только к случаю, когда ноль входит в область определения.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли f(x) = x⁴ чётной, нечётной или ни той ни другой.

Область определения — все действительные числа, а она симметрична относительно нуля. Теперь заменим аргумент на −x и сравним результат с исходной формулой. Так можно проверить оба определения, не подбирая отдельные значения.

1. Вычислим: f(−x) = (−x)⁴ = x⁴.
2. Так как x⁴ = f(x), для всех x выполняется равенство чётной функции.
3. Выражение −f(x) = −x⁴ в общем случае не равно x⁴, значит, функция не нечётная.

Ответ: f(x) = x⁴ — чётная функция.

Задача 2. Определите чётность f(x) = (x + 1)/(x − 1).

Сначала найдём область: знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому x ≠ 1. Полученная область не симметрична относительно нуля: −1 допустимо, но противоположное ему число 1 исключено. Уже этого достаточно для вывода, однако вычисление f(−x) показывает, как ведут себя формулы.

1. Область определения: все действительные числа, кроме 1; она несимметрична.
2. Подставим −x: f(−x) = (1 − x)/(−x − 1) = (x − 1)/(x + 1).
3. Это выражение не совпадает тождественно ни с f(x) = (x + 1)/(x − 1), ни с −f(x).

Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной; прежде всего это следует из несимметричной области определения.

Задача 3. При каком a функция f(x) = x³ + ax нечётная?

Область определения — все действительные числа, значит, условие симметрии выполнено при любом a. Остаётся подставить −x и проверить равенство f(−x) = −f(x). Параметр влияет на слагаемое ax, поэтому проверим его вместе с остальной формулой.

1. f(−x) = (−x)³ + a(−x) = −x³ − ax.
2. Вычислим −f(x): −(x³ + ax) = −x³ − ax.
3. Полученные выражения равны при любом значении a, а не только при каком-то одном.

Ответ: функция нечётная при всех действительных a. Это следует из равенства f(−x) = −f(x), верного для любого x.

Типичные ошибки

Первая ошибка — проверять нужное равенство до выяснения области определения. Так можно упустить, что для некоторого x значение f(−x) вообще не существует; обычно это происходит, когда сразу начинают преобразовывать формулу. Сначала найдите область и проверьте каждую пару x и −x, а затем переходите к подстановке.

Вторая ошибка — объявлять функцию нечётной только потому, что график проходит через начало координат. Это условие обязательно для нечётной функции, определённой при нуле, но оно не проверяет остальные точки; по нему можно ошибочно сделать вывод о всей функции. Проверьте f(−x) = −f(x) для произвольного x, а не только значение f(0).

Третья ошибка — заменять на −x лишь часть аргументов или забывать знак при возведении в степень. Такое случается, если подстановка делается устно и скобки не записываются; например, (−x)² = x², а (−x)³ = −x³. Подставляйте −x во каждое вхождение аргумента и отдельно упрощайте степени и скобки.

Четвёртая ошибка — считать, что любая функция обязательно относится к одному из двух видов. Это неверно: после подстановки может не получиться ни f(x), ни −f(x), например для f(x) = x + 1. Чтобы проверить себя, сравните выражение с обеими возможностями и не делайте вывод по одному совпавшему значению.

Связь с другими темами

Для проверки чётности и нечётности нужны навыки нахождения области определения и подстановки выражений вместо аргумента. Например, у дробной функции сначала выясняют, где знаменатель не равен нулю, и только потом анализируют f(−x). Это связывает тему с преобразованием алгебраических выражений и исследованием функций.

Симметрия графика помогает строить его и исследовать свойства, не вычисляя значения для каждой точки отдельно. Если функция чётная, одну половину графика можно отразить относительно оси ординат; если нечётная — получить вторую поворотом вокруг начала координат. Поэтому свойства симметрии делают построение графиков короче.

Что запомнить

• Для чётной функции f(−x) = f(x).
• Для нечётной функции f(−x) = −f(x).
• Область определения чётной или нечётной функции симметрична относительно нуля.
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
• График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
• Функция может быть ни чётной, ни нечётной.