§ 10. Свойства функций

Определения и обозначения

Область определения функции — все значения аргумента, при которых функция имеет смысл; её обозначают D(f). Иными словами, это разрешённые значения x, которые можно подставить в формулу или для которых задан график. Знание области определения помогает не использовать значения, при которых вычисление невозможно.

Область значений функции — все значения, которые принимает функция; её обозначают E(f). Если область определения отвечает на вопрос «какие x допустимы?», то область значений показывает, какие y получаются. Это нужно, например, чтобы понять, какие результаты может давать функция.

Нуль функции — значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, то есть f(x) = 0. На графике нулю соответствует абсцисса точки пересечения графика с осью Ox. Нули помогают разделить числовую прямую на промежутки, где знак функции может быть разным.

Промежутки возрастания и убывания — промежутки, на которых при увеличении аргумента значения функции соответственно увеличиваются или уменьшаются. Их называют промежутками монотонности. Они показывают, как меняется функция, и помогают описывать форму графика без перечисления всех его точек.

Как это устроено

Область определения находят из смысла задачи и ограничений самой формулы. Например, дробь не определена при нулевом знаменателе, потому что делить на нуль нельзя. Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поскольку в действительных числах нельзя извлечь корень чётной степени из отрицательного числа. Если одновременно есть несколько ограничений, нужно учитывать их все.

По графику удобно находить область значений, нули и промежутки знакопостоянства, потому что эти свойства напрямую видны на рисунке. Значения y читают по вертикальной оси Oy: от графика мысленно проводят горизонтальный отрезок к оси. Пересечения с Ox дают нули, а положение графика выше или ниже Ox показывает знак функции. При работе с формулой те же свойства находят вычислениями, например нули — решением уравнения f(x) = 0.

Возрастание и убывание описывают, что происходит с y, когда x становится больше. Поэтому график рассматривают слева направо: поднимается — функция возрастает, опускается — убывает. В ответе указывают промежутки аргумента, то есть значения x, на которых наблюдается это поведение. Промежутки значений функции для описания монотонности не подходят.

Наибольшее и наименьшее значения сравнивают только в пределах заданного промежутка: за его границами значения функции не учитываются. На графике ищут самую высокую и самую низкую точки, принадлежащие этому промежутку. Если крайняя точка не входит в промежуток, функция может приближаться к соответствующему значению, но не достигать его. Поэтому открытые и закрытые концы промежутка способны изменить ответ.

Чётность и нечётность проверяют сравнением значений функции при противоположных аргументах. Если f(−x) = f(x) для всех допустимых x, функция чётная; если f(−x) = −f(x), она нечётная. Для такой проверки область определения должна подходить для сравнения x и −x. Периодичность означает, что значения повторяются через один и тот же положительный период T: f(x + T) = f(x), когда оба аргумента допустимы.

Основные свойства функции и способы их определения

Сначала уточните, задана ли функция формулой или графиком и на каком промежутке её исследуют. Затем используйте соответствующий способ из последнего столбца, внимательно различая аргументы x и значения y. Для наибольшего и наименьшего значений обязательно проверьте, входят ли концы промежутка.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = x² − 4 найдите область определения, нули и промежутки знакопостоянства. Формула содержит только возведение в квадрат и вычитание, поэтому ограничений на x нет. Чтобы определить знак, сначала найдём точки, в которых функция может поменять знак, — её нули.

1. Квадрат числа определён при любом действительном x, значит, D(f) = ℝ.
2. Решим уравнение x² − 4 = 0: x² = 4, поэтому x = −2 или x = 2.
3. Разобьём числовую прямую нулями −2 и 2. При x < −2 и x > 2 квадрат x больше 4, поэтому функция положительна; между нулями x² меньше 4, поэтому функция отрицательна.

Ответ: D(f) = ℝ; нули: −2 и 2; f(x) > 0 при x < −2 и x > 2, f(x) < 0 при −2 < x < 2.

Задача 2. По графику функции на отрезке [−3; 2] определите область значений, промежутки возрастания и убывания, а также наибольшее и наименьшее значения. Для разбора используем график y = x² − 4: он убывает до вершины при x = 0, а затем возрастает. Отрезок включает обе крайние точки, поэтому значения в x = −3 и x = 2 тоже учитываются.

1. На отрезке от −3 до 0 график убывает, а от 0 до 2 возрастает.
2. В вершине при x = 0 получаем y = −4. На левом конце y(−3) = 5, на правом y(2) = 0.
3. Сравниваем найденные значения: наибольшее равно 5, наименьшее равно −4. Между ними график принимает все значения, поэтому E = [−4; 5].

Ответ: область значений [−4; 5]; функция убывает на [−3; 0] и возрастает на [0; 2]; наибольшее значение — 5, наименьшее — −4.

Задача 3. Для функции f(x) = (x + 1)/(x − 2) определите область определения, нули и промежутки знакопостоянства. Здесь важно отдельно проверить знаменатель и числитель: нулём дроби может быть только значение, при котором числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найденные точки разобьют числовую прямую на промежутки для проверки знака.

1. Знаменатель x − 2 обращается в нуль при x = 2, поэтому это значение исключаем: D(f) = ℝ, x ≠ 2.
2. Приравниваем числитель к нулю: x + 1 = 0, откуда x = −1. Знаменатель при этом не равен нулю, значит, −1 — нуль функции.
3. Проверяем знаки множителей на промежутках (−∞; −1), (−1; 2) и (2; +∞). До −1 числитель и знаменатель отрицательны, поэтому дробь положительна; между −1 и 2 числитель положителен, а знаменатель отрицателен; после 2 оба положительны.

Ответ: D(f) = ℝ, x ≠ 2; нуль x = −1; функция положительна при x < −1 и x > 2, отрицательна при −1 < x < 2.

Типичные ошибки

Путают область определения и область значений, потому что обе связаны с возможными значениями функции. Но область определения относится к x, а область значений — к y. Проверка простая: спросите себя, что именно перечислено — допустимые аргументы или результаты вычисления.

Нулём называют всю точку пересечения графика с осью Ox. Так происходит из-за привычки описывать график координатами, но нуль функции — только абсцисса этой точки, то есть значение x. Проверьте запись: у нуля должно быть одно число, а не пара координат.

Промежутки возрастания иногда записывают как промежутки значений функции. Причина ошибки в том, что при возрастании действительно меняются значения y, однако свойство задаётся на участке аргументов x. Чтобы проверить ответ, отметьте на числовой прямой значения x, для которых график поднимается слева направо.

На открытом промежутке могут указать наибольшее или наименьшее значение, которое функция на самом деле не принимает. Часто край графика выглядит как крайняя точка, и забывают проверить, включена ли она в промежуток. Сравните значение в предполагаемой крайней точке с условиями: если точка не входит, проверьте, есть ли другая точка, где функция достигает этого значения.

Связь с другими темами

Чтобы исследовать функцию по графику, нужно уметь читать координаты точек и понимать, как значения x и y расположены на осях. Для построения графика пригодятся подстановка значений в формулу и составление таблицы. Свойства функции помогают не просто нарисовать график, а описать его поведение и проверить, какие значения возможны.

Эти знания используют при исследовании и построении графиков, а также при решении уравнений и неравенств графическим способом. Например, нули помогают находить решения уравнения f(x) = 0, а промежутки знакопостоянства — решать неравенства f(x) > 0 или f(x) < 0. Понимание монотонности позволяет увидеть, как меняются значения функции при изменении аргумента.

Что запомнить

• Область определения состоит из допустимых значений аргумента.
• Область значений состоит из значений функции.
• Нули функции соответствуют пересечениям графика с осью Ox.
• Знак функции определяют по расположению графика относительно оси Ox.
• Возрастание и убывание рассматривают слева направо.
• Наибольшее и наименьшее значения зависят от заданного промежутка.

Как это устроено