§ 2. Свойства функций

Определения и обозначения

Область определения функции — множество всех значений аргумента, при которых функция задана; её обозначают D(f). Иными словами, это все значения x, которые разрешено подставлять в формулу. Область определения нужна, чтобы не рассматривать недопустимые аргументы и правильно указывать промежутки свойств.

Множество значений функции — множество всех значений, которые принимает функция; его обозначают E(f). Если менять аргумент в пределах D(f), получающиеся значения f(x) образуют E(f). Это множество помогает понять, каких результатов функция вообще может достигать.

Нуль функции — значение аргумента, при котором значение функции равно нулю; такой аргумент является корнем уравнения f(x) = 0. Нулём называют именно x, а не значение f(x), которое в этой точке равно нулю. Нули нужны, чтобы находить пересечения графика с осью Ox и исследовать знак функции.

Монотонность функции — её возрастание или убывание на промежутке, определяемое сравнением значений при разных аргументах. При возрастании большему x соответствует большее значение функции, при убывании — меньшее. Знание монотонности помогает описать поведение графика и найти участки изменения функции.

Как это устроено

Исследование начинают с области определения, потому что ограничения формулы определяют, какие аргументы вообще допустимы. Например, знаменатель дроби не может быть равен нулю, а подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным. Если пропустить этот шаг, можно включить в ответ точки, где функция не задана, или ошибочно описать её поведение через такой разрыв.

Нули находят решением уравнения f(x) = 0, а знаки — проверкой значений функции на промежутках между нулями. По графику нуль виден как точка пересечения с осью Ox, по таблице — как аргумент, которому соответствует значение 0; по формуле можно решить уравнение. Между соседними нулями знак непрерывной функции не меняется: иначе графику пришлось бы пересечь ось Ox ещё раз. Поэтому для знака достаточно проверить одну точку в каждом таком промежутке.

Чтобы установить возрастание или убывание, сравнивают значения функции при аргументах, взятых в нужном порядке. Функция возрастает, если из x₁ < x₂ следует f(x₁) < f(x₂), и убывает, если f(x₁) > f(x₂). На графике движение слева направо вверх означает возрастание, вниз — убывание. Промежутки рассматривают только внутри области определения: через точку, где функция не задана, нельзя без проверки объединять участки.

Ограниченная функция имеет значения, которые не выходят за некоторую границу сверху, снизу или с обеих сторон. Наибольшее значение — это значение функции, которое она действительно принимает и которое не меньше остальных; наименьшее определяется аналогично. Граница может лишь приближать значения, но не достигаться, поэтому ограниченность сама по себе не гарантирует существование максимума или минимума. Например, на промежутке 0 < x < 1 функция f(x) = x ограничена, но значения 0 и 1 не принимает.

Чётность и нечётность проверяют подстановкой −x, но сначала убеждаются, что вместе с каждым x в области определения есть и −x. Равенство f(−x) = f(x) означает чётность, а f(−x) = −f(x) — нечётность. График чётной функции симметричен относительно оси Oy, нечётной — относительно начала координат. Период T ≠ 0 проверяют равенством f(x + T) = f(x) для всех допустимых x: значения повторяются при сдвиге аргумента на T.

Основные свойства функции и способы их описания

Таблица помогает составить план исследования: начните с допустимых аргументов, затем переходите к значениям, нулям и поведению функции. Для каждой характеристики выбирайте способ, который соответствует условию: график, таблицу или формулу. В записи промежутков всегда учитывайте область определения.

Разбор задач

Задача 1

Условие: для функции f(x) = x² − 4 найти область определения, нули и промежутки знакопостоянства. Формула содержит многочлен, поэтому ограничений на x нет. Чтобы найти нули и знаки, удобно разложить выражение на множители.

1. Область определения: квадратный трёхчлен вычисляется при любом действительном x, значит, D(f) = ℝ.
2. Разложим: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Из уравнения (x − 2)(x + 2) = 0 получаем нули x = −2 и x = 2.
3. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка. При x < −2 оба множителя отрицательны, при −2 < x < 2 знаки множителей разные, а при x > 2 оба положительны.
4. Значит, произведение положительно на внешних промежутках и отрицательно между корнями. Сами нули в промежутки строгого знака не входят.

Ответ: D(f) = ℝ; нули −2 и 2; f(x) > 0 при x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞), f(x) < 0 при x ∈ (−2; 2).

Задача 2

Условие: исследовать f(x) = 1/(x − 2), найти область определения, множество значений, нули и промежутки монотонности. Сначала проверим знаменатель: при x = 2 дробь не определена, поэтому функция разделена точкой разрыва на две части. Для множества значений и монотонности полезно преобразовать формулу: f(x) = 1/(x − 2).

1. Из условия x − 2 ≠ 0 следует D(f) = ℝ {2}.
2. Дробь не может равняться нулю, так как её числитель равен 1. Поэтому нулей нет. Значение y = 0 также не достигается, а любое y ≠ 0 получается при x = 2 + 1/y; значит, E(f) = ℝ {0}.
3. На каждой части области определения функция убывает: при увеличении x значение знаменателя растёт, а величина обратной дроби уменьшается. Разрыв в x = 2 не позволяет объединить части в один промежуток.

Ответ: D(f) = ℝ {2}, E(f) = ℝ {0}; нулей нет; функция убывает на (−∞; 2) и (2; +∞).

Задача 3

Условие: для f(x) = x³ − 3x определить чётность, нули, промежутки монотонности и экстремумы. Формула задана при всех действительных x, поэтому область определения симметрична относительно нуля. Разложение поможет найти корни, а исследование изменения функции — определить участки подъёма и спуска.

1. Проверим чётность: f(−x) = −x³ + 3x = −(x³ − 3x) = −f(x). Функция нечётная.
2. Разложим f(x) = x(x² − 3). Нули: x = −√3, 0, √3.
3. Для монотонности можно исследовать производную: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Она положительна при x < −1 и x > 1, отрицательна при −1 < x < 1.
4. Следовательно, функция возрастает на (−∞; −1) и (1; +∞), убывает на (−1; 1). В точке x = −1 происходит переход от возрастания к убыванию, поэтому это локальный максимум: f(−1) = 2. В точке x = 1 — локальный минимум: f(1) = −2.

Ответ: функция нечётная; нули −√3, 0, √3; указанные промежутки монотонности; локальный максимум 2 при x = −1 и локальный минимум −2 при x = 1.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать D(f) = ℝ, не проверив ограничения формулы. Так бывает, когда область определения путают с множеством всех возможных чисел. Подставьте подозрительные значения в формулу: если получается нулевой знаменатель или недопустимый корень, исключите их.

Ошибка: называть нулём функции значение f(x), равное нулю, вместо соответствующего аргумента x. Путаница возникает из-за того, что в точке нуля функция действительно принимает значение 0. Проверьте ответ подстановкой: нуль функции — число x, которое удовлетворяет уравнению f(x) = 0.

Ошибка: считать, что ограниченная функция обязательно имеет наибольшее и наименьшее значения. Границы могут быть предельными, но недостижимыми, особенно если крайние точки промежутка не входят в область определения. Для проверки выясните не только, есть ли граница, но и принимает ли функция это значение.

Ошибка: объявлять функцию чётной или нечётной по одному виду формулы. Даже подходящее равенство после подстановки −x недостаточно, если область определения не симметрична относительно нуля. Сначала сравните допустимость x и −x, затем проверьте f(−x) = f(x) или f(−x) = −f(x) для всех допустимых x.

Связь с другими темами

Для изучения свойств функции нужно уметь читать графики, находить значения по формуле и решать простейшие уравнения и неравенства. Эти навыки позволяют переходить от графического представления к вычислениям и проверять результаты разными способами. Например, корни уравнения f(x) = 0 можно найти по формуле, а затем увидеть на графике как пересечения с осью Ox.

Свойства функций используют при построении графиков и решении уравнений и неравенств: знаки и нули помогают определить решения, а монотонность — сравнить значения. Они также нужны при изучении преобразований графиков, поскольку симметрия, сдвиги и растяжения меняют или сохраняют отдельные свойства. Поэтому описание функции связывает формулы, графики и решение практических задач.

Что запомнить

• Область определения — допустимые значения аргумента.
• Нули функции — решения уравнения f(x) = 0.
• Промежутки возрастания и убывания рассматривают внутри области определения.
• Чётность проверяют подстановкой −x и сравнением с f(x).
• Период функции T ≠ 0 удовлетворяет равенству f(x + T) = f(x) для всех допустимых x.
• Ограниченная функция не обязательно достигает своих верхней и нижней границ.