§ 1. Определение числовой функции и способы ее задания

Определения и обозначения

Числовая функция — соответствие, при котором каждому числу x из заданного множества поставлено в соответствие ровно одно число y. Условие «ровно одно» означает, что выбранный аргумент не может дать два разных результата. Функция описывает зависимость и позволяет по аргументу находить соответствующее ему значение.

Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. Иными словами, это набор чисел, которые разрешено подставлять в правило функции. Знание области определения помогает не выполнять недопустимые действия и не рассматривать значения, для которых правило не работает.

Множество значений функции — множество всех значений y, которые функция принимает при аргументах из области определения. Оно состоит не из исходных чисел, а из результатов применения правила. Это понятие нужно, чтобы выяснить, какие значения функция вообще может принимать.

Способы задания функции — способы указать соответствие между аргументом и значением функции: формулой, таблицей, графиком или описанием. В записи y = f(x) буква f — имя функции, x — аргумент, а f(x) — значение функции при выбранном x. Такая запись показывает, что значение y определяется выбранным аргументом по правилу f.

Как это устроено

Функция задаёт однозначное соответствие: одному допустимому x отвечает только одно значение y. Это необходимо, чтобы по заданному аргументу можно было однозначно определить результат. Если для одного x указать сразу два различных y, правило не даст единственного ответа и функция не получится. При этом два разных аргумента могут привести к одному результату: например, при f(x) = x² аргументы 2 и −2 дают значение 4.

Запись y = f(x) связывает аргумент и результат через правило, названное функцией f. Сначала выбирают x, затем выполняют предписанные действия и получают f(x), то есть соответствующее значение y. Например, в f(3) число 3 занимает место аргумента, а всё выражение обозначает результат вычисления. Такая запись удобна и для формулы, и для рассуждений о функции в целом.

Область определения может ограничиваться условием задачи: например, время или длина в конкретной ситуации не бывают отрицательными. Если функция задана формулой, нужно также проверить, допустимы ли все действия при каждом значении x. Делить на ноль нельзя, поэтому значение, обращающее знаменатель в ноль, исключают. Для квадратного корня в действительных числах подкоренное выражение должно быть неотрицательным, иначе вычисление не определено.

Область определения и множество значений отвечают на разные вопросы. Первая показывает, какие значения можно подставить вместо x, а второе — какие результаты получаются после применения функции. Например, для f(x) = x² при области определения всех действительных чисел область определения включает и положительные, и отрицательные числа. Но значение функции не бывает отрицательным, поэтому её множество значений — неотрицательные числа.

Формула, таблица, график и словесное описание передают одно и то же соответствие разными способами. По формуле удобно находить значение для выбранного аргумента, а таблица наглядно перечисляет отдельные пары аргумент — результат. График представляет такие пары точками на координатной плоскости, поэтому позволяет увидеть расположение и поведение функции. Словесное описание сообщает правило словами, но для вычислений его нужно точно понять и применить.

Способы задания числовой функции

Выбирайте способ в зависимости от вопроса: формула подходит для вычислений, таблица — для работы с перечисленными парами, а график — для визуального анализа. Словесное задание помогает понять смысл зависимости, но его правило должно однозначно определять результат. При любом способе каждому аргументу из области определения должно соответствовать ровно одно значение.

Разбор задач

Для функции f(x) = 2x − 3 найдите f(4) и f(−1). Здесь формула задаёт правило: аргумент нужно умножить на 2, а затем вычесть 3. В записи f(4) вместо x подставляется 4, а в f(−1) — число −1. Сначала выполним подстановку для каждого аргумента отдельно.

1. Вычислим первое значение: f(4) = 2 · 4 − 3 = 8 − 3 = 5.
2. Вычислим второе: f(−1) = 2 · (−1) − 3 = −2 − 3 = −5.

Ответ: f(4) = 5, f(−1) = −5. Знак аргумента важно сохранить при подстановке, поэтому отрицательное число удобно заключать в скобки. Полученные результаты и есть значения функции для выбранных аргументов.

Найдите область определения функции f(x) = 5/(x − 2) и вычислите f(0). В формуле есть дробь, поэтому сначала проверим, когда её знаменатель может стать нулём. При таком значении деление невозможно, и аргумент нужно исключить из области определения. Только после этой проверки подставим требуемое число.

1. Потребуем, чтобы знаменатель был не равен нулю: x − 2 ≠ 0.
2. Решим неравенство: x ≠ 2. Значит, область определения — все действительные числа, кроме 2.
3. Число 0 допустимо, поэтому подставим его: f(0) = 5/(0 − 2) = 5/(−2) = −5/2.

Ответ: D(f) = ℝ \ {2}, f(0) = −5/2. Значение 2 нельзя включить в область определения, поскольку оно обращает знаменатель в ноль. Проверка допустимости аргумента до вычисления помогает избежать недопустимой операции.

По таблице значений x: −2, 0, 3 и y: 4, 1, 4 определите, задаёт ли она функцию, укажите область определения и множество значений. Пары из таблицы имеют вид (−2; 4), (0; 1), (3; 4). Проверим, не повторяется ли какой-либо аргумент с разными результатами, а затем отдельно соберём x и y. Повторение результата при разных аргументах не нарушает условие функции.

1. Сопоставим значения: −2 отвечает 4, 0 отвечает 1, 3 отвечает 4. Каждый из трёх аргументов указан один раз и имеет ровно один результат.
2. Следовательно, таблица задаёт функцию. Её область определения: {−2, 0, 3}.
3. Выпишем результаты без повторений: 4 и 1. Множество значений функции: {1, 4}.

Ответ: таблица задаёт функцию; область определения — {−2, 0, 3}, множество значений — {1, 4}. Число 4 встречается дважды среди результатов, но в множестве его записывают один раз. Это не мешает функции, потому что разным аргументам разрешено соответствовать одинаковое значение.

Типичные ошибки

• Считать, что одному аргументу могут соответствовать несколько разных значений. Так думают, когда путают функцию с произвольным набором пар, но при этом нарушается единственность результата. Проверьте каждую пару с одинаковым x: значения y у них должны совпадать.
• Путать аргумент x со значением f(x). Ошибка возникает потому, что обе величины записываются числами, хотя x выбирают, а f(x) получают по правилу. Для самопроверки подпишите пары словами: «вход» — аргумент, «результат» — значение функции.
• Называть областью определения множество значений функции. Эти множества смешивают, если не разделяют исходные числа и результаты вычислений. Проверьте, отвечаете ли вы на вопрос «что можно подставить?» или «что может получиться?».
• Не проверять допустимость аргументов при задании формулой, например оставлять значение, обращающее знаменатель в ноль. Часто сначала подставляют числа в формулу и забывают, что некоторые действия не определены. Найдите ограничения отдельно: проверьте знаменатели и выражения под корнями, затем запишите область определения.

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужны координатная прямая и координатная плоскость: на них отмечают аргументы, значения и точки графика. Также важно уметь подставлять числа в выражения и вычислять их, сохраняя знаки и порядок действий. Эти навыки позволяют переходить от формулы к конкретным значениям и обратно. Понятие функции пригодится при изучении графиков, свойств функций и преобразований графиков, а также при решении уравнений.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обозначают x, значение функции — f(x) или y.
• Область определения содержит допустимые значения аргумента.
• Множество значений состоит из значений, которые принимает функция.
• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесно.
• При задании формулой нужно учитывать допустимость всех действий.