"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Обратная функция позволяет восстановить исходный аргумент по значению функции. Например, если функция переводит число x в число y, обратная по числу y находит исходное x. Она существует на выбранной области определения, когда каждому значению исходной функции соответствует только один аргумент. Чтобы её найти, меняют местами x и y и выражают новую y. Область определения и множество значений при переходе к обратной функции меняются местами, а графики отражаются относительно прямой y = x.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная функция — это функция, которая каждому значению исходной функции ставит в соответствие аргумент, при котором это значение достигается. Если исходная функция записана как y = f(x), то обратную часто обозначают f⁻¹ и записывают y = f⁻¹(x). Она отвечает на вопрос: какое число подали на вход, если на выходе получили заданное значение? Поэтому обратная функция нужна, когда требуется восстановить исходные данные по результату.
Функции f и g называются взаимно обратными, если f(g(x)) = x и g(f(x)) = x на соответствующих областях определения. Здесь запись f(g(x)) означает, что сначала находят значение g(x), а затем подставляют его в f. Результатом должна стать исходная переменная: две функции как бы отменяют действие друг друга. Эти равенства помогают и определить взаимную обратность, и проверить найденную формулу.
Взаимно однозначное соответствие означает, что разным аргументам соответствуют разные значения и каждому значению отвечает ровно один аргумент. Именно это позволяет однозначно восстановить аргумент по значению функции. Если одно и то же значение получают при разных аргументах, обратная зависимость не сможет выбрать единственный ответ. Тогда исходную функцию нужно рассматривать на более узкой области, если такое ограничение возможно.
Чтобы определить обратную функцию, исходная должна принимать каждое своё значение не более чем при одном аргументе. Иначе, например, из результата 9 пришлось бы восстановить сразу два возможных числа, а функция должна выдавать только одно значение. Проверить условие можно по уравнению f(x₁) = f(x₂): если из него всегда следует x₁ = x₂, функция подходит. Если условие нарушается, часто помогает ограничение области определения, на которой значения уже не повторяются.
Алгебраический способ нахождения обратной функции основан на смене ролей аргумента и значения. Сначала записывают исходное равенство y = f(x), затем меняют местами x и y, ведь результат исходной функции становится входом обратной. После этого выражают новую y через x и записывают полученную формулу как y = f⁻¹(x). Одной перестановки букв недостаточно: пока y не выражена через x, формула обратной функции не получена.
Области определения двух функций связаны обменом ролей входа и выхода. В исходной функции допустимые аргументы образуют область определения, а получаемые результаты — множество значений. Для обратной функции эти результаты становятся допустимыми аргументами, поэтому её область определения равна множеству значений исходной. А прежние аргументы становятся результатами обратной, так что её множество значений совпадает с областью определения исходной.
Перестановка аргумента и значения меняет местами координаты каждой точки графика. Точка (a; b) графика y = f(x) переходит в точку (b; a) графика обратной функции. Отражение относительно прямой y = x как раз меняет координаты местами, поэтому графики взаимно обратных функций симметричны относительно этой прямой. Это геометрическое свойство позволяет сопоставить графики, даже если формулы выглядят по-разному.
Для линейной функции y = 2x + 3 переставим переменные: x = 2y + 3, откуда y = (x − 3)/2. Проверка подстановкой даёт 2((x − 3)/2) + 3 = x и ((2x + 3) − 3)/2 = x, то есть обе композиции возвращают исходное число. Исходная функция определена при всех действительных x и принимает все действительные значения; то же верно для обратной. Поэтому область определения и множество значений каждой из этих функций равны ℝ.
| Характеристика | Исходная функция y = f(x) | Обратная функция y = f⁻¹(x) |
|---|---|---|
| Область определения | Аргументы, допустимые для f | Множество значений f |
| Множество значений | Значения, которые принимает f | Область определения f |
| Связь значений и аргументов | Аргумент x переходит в значение f(x) | Значение f(x) переходит обратно в x |
| Композиция функций | f(f⁻¹(x)) = x на подходящей области | f⁻¹(f(x)) = x на подходящей области |
| Расположение графиков | Симметричен графику обратной относительно y = x | Симметричен графику исходной относительно y = x |
Пользуйся таблицей, когда нужно определить допустимые значения аргумента или проверить характеристики найденной обратной. Сначала найди область определения и множество значений исходной функции, затем поменяй их местами. Равенства для композиции проверяй только там, где обе функции определены.
Найти функцию, обратную к y = 2x + 3, и проверить ответ. У исходной функции нет повторяющихся значений: при увеличении x значение 2x + 3 увеличивается. Значит, каждому результату соответствует единственный аргумент, и можно искать обратную функцию на всей числовой прямой.
Ответ: f⁻¹(x) = (x − 3)/2; обе функции определены и принимают значения на ℝ. Подстановки подтверждают, что каждая из них восстанавливает аргумент другой. Проверка особенно полезна, если при преобразовании легко ошибиться со знаком или числом.
Найти обратную функцию к y = x² при x ≥ 0 и указать её область определения. Ограничение здесь существенно: на неотрицательных x квадрат растёт, поэтому одному значению y соответствует только один допустимый x. Квадраты неотрицательны, так что множество значений исходной функции — числа y ≥ 0.
Ответ: f⁻¹(x) = √x, область определения — [0; +∞). Ограничение исходной функции определяет, какой корень выбрать. Без условия x ≥ 0 формула √x не восстановила бы отрицательный исходный аргумент.
Для y = (x − 1)² + 2 найдём обратную зависимость и выясним, является ли она функцией на всей области определения исходной. Исходная формула определена при всех действительных x, но симметрична относительно x = 1. Поэтому разные аргументы могут давать одинаковые значения, например x = 0 и x = 2 дают y = 3.
Ответ: на всей ℝ обратная зависимость не является функцией; её формула имеет две ветви. При ограничении исходной области условием x ≥ 1 обратная функция равна f⁻¹(x) = 1 + √(x − 2), x ≥ 2. Выбор другой половины параболы даёт другую обратную ветвь.
Переставляют x и y, но останавливаются на уравнении, где новая y ещё не выражена через x. Так бывает, когда смену переменных принимают за готовый ответ. Продолжи решение относительно y и проверь, что получилась запись функции; например, из x = 2y + 3 нужно получить y = (x − 3)/2.
Считают, что обратная функция есть у любой функции на всей области определения. Причина — забывают, что обратная должна однозначно восстановить аргумент. Проверь, не дают ли разные x одно и то же значение y; для y = x² подходят, например, 2 и −2. Если значения повторяются, ограничь область определения так, чтобы повторов не осталось.
Записывают √(x²) = x, не учитывая знак x. Это равенство верно только при x ≥ 0, потому что квадратный корень по определению неотрицателен, а в общем случае √(x²) = |x|. Проверяй формулу на отрицательном числе: при x = −3 левая часть равна 3, а не −3. Условие на область определения подскажет, можно ли заменить модуль на x.
При описании обратной функции оставляют прежние область определения и множество значений. Это происходит, если учитывают формулу, но забывают о смене ролей аргумента и результата. Перед записью ответа выпиши множество значений исходной и область определения обратной, затем область определения исходной и множество значений обратной. Такой обмен помогает обнаружить неверно указанные ограничения.
Для работы с обратной функцией нужно уметь находить область определения и множество значений функции, а также решать уравнения относительно выбранной переменной. Эти навыки нужны, чтобы проверить однозначность, переставить переменные и правильно указать ограничения. Обратные функции помогают решать уравнения и неравенства, переводя задачу к другой зависимости. Например, логарифмическая функция обратна показательной, поэтому их свойства связаны.
У любой ли функции есть обратная функция?
Нет, на всей области определения обратная функция существует только тогда, когда разные аргументы дают разные значения. Например, y = x² на всей числовой прямой одному значению может соответствовать два аргумента. Чтобы получить обратную функцию, область определения иногда ограничивают.
Как проверить, что найденная функция действительно обратная?
Если f и g взаимно обратны, то должны выполняться равенства f(g(x)) = x и g(f(x)) = x на соответствующих областях определения. Подставьте выражение одной функции в другую и упростите. Также проверьте, что области определения и значения согласованы.
Почему при нахождении обратной функции меняют местами x и y?
В исходной записи x — аргумент, а y — полученное значение. Для обратной зависимости нужно считать это значение новым аргументом и восстановить прежний аргумент как результат. Поэтому координаты меняются местами, после чего новую зависимость записывают в виде y через x.
Как связаны области определения и множества значений двух обратных функций?
Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной. Множество значений обратной, в свою очередь, совпадает с областью определения исходной. Это следует из того, что обратная функция меняет роли аргумента и результата.
Почему графики обратных функций симметричны относительно прямой y = x?
Если точка (a; b) принадлежит графику исходной функции, то для обратной функции аргументом становится b, а значением — a. Значит, на её графике есть точка (b; a), полученная перестановкой координат. Такая перестановка отражает точку относительно прямой y = x.
§ 3. Обратная функция
