20. Обратная функция

Определения и обозначения

Обратная функция — это функция, которая каждому значению y исходной функции ставит в соответствие тот аргумент x, при котором исходная функция принимает значение y. Если f(a) = b, то для обратной функции записывают f⁻¹(b) = a. Такая функция нужна, чтобы по результату вычисления восстановить исходное число.

Функции f и f⁻¹ называют взаимно обратными, если f⁻¹(f(x)) = x и f(f⁻¹(x)) = x на соответствующих областях определения. Сначала одна функция переводит аргумент в значение, а другая возвращает исходный аргумент. Знак ⁻¹ в записи f⁻¹(x) не означает степень −1 или дробь 1/f(x).

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции. При переходе к обратной функции область определения и множество значений меняются местами. Поэтому ограничения для f⁻¹ нужно находить не по старой области определения, а по всем значениям, которые принимает f.

Как это устроено

Обратная функция существует, если каждое значение исходной функции получается только при одном аргументе. Иначе одному числу пришлось бы сопоставить сразу несколько значений, а функция должна ставить каждому аргументу ровно одно значение. Например, по результату 9 для функции x² нельзя однозначно выбрать 3 или −3.

Формулу обратной функции находят через равенство y = f(x). Сначала меняют местами x и y, потому что у обратной функции бывшее значение становится аргументом, а бывший аргумент — значением. Затем решают полученное уравнение относительно новой y; выражение справа записывают как f⁻¹(x).

Область определения f⁻¹ совпадает с множеством значений f, поскольку обратная функция принимает на вход именно результаты исходной. Множество значений f⁻¹ совпадает с областью определения f, ведь после восстановления можно получить любой допустимый исходный аргумент. Такая замена помогает сразу заметить невозможные значения и не допустить ошибок в ответе.

Если точка (a; b) принадлежит графику f, то f(a) = b. Обратная функция принимает аргумент b и выдаёт a, поэтому на её графике появляется точка (b; a). Отражение точки относительно прямой y = x как раз меняет координаты местами, значит, графики взаимно обратных функций симметричны относительно этой прямой.

Иногда функция не имеет обратной на всей области определения, но её можно ограничить. Например, у y = x² убирают отрицательные аргументы и оставляют x ≥ 0; тогда каждое неотрицательное значение получается единственным способом. Такое ограничение называют выбором подходящей части области определения.

Связь функции и обратной к ней

Таблицу удобно использовать как проверочный план: сначала сравните области определения и значения, затем проверьте направление соответствия. В последней строке можно убедиться, что точки одного графика получаются перестановкой координат точек другого.

Разбор задач

Задача 1. Определите, имеет ли функция f(x) = x² обратную на всей числовой прямой и на промежутке [0; +∞). Нужно проверить, единственный ли аргумент соответствует каждому значению функции. От результата проверки зависит, понадобится ли ограничение области определения.

1. На всей числовой прямой f(3) = 9 и f(−3) = 9. Значению 9 соответствуют два аргумента, поэтому обратной функции на всей прямой нет.
2. На промежутке [0; +∞) отрицательные аргументы исключены. Для каждого y ≥ 0 остаётся единственный аргумент x = √y.
3. Следовательно, на этом промежутке функция имеет обратную функцию, потому что стала взаимно однозначной.

Ответ: на всей числовой прямой обратной функции нет; на [0; +∞) она существует.

Задача 2. Найдите обратную функцию к f(x) = 3x − 5 и укажите её область определения. Линейная функция с ненулевым коэффициентом при x принимает каждое значение только один раз. Поэтому достаточно применить алгоритм перестановки переменных.

1. Запишем y = 3x − 5 и поменяем переменные: x = 3y − 5.
2. Выразим y: 3y = x + 5, значит, y = (x + 5)/3.
3. Исходная линейная функция принимает любые действительные значения. Поэтому область определения обратной функции — R.

Ответ: f⁻¹(x) = (x + 5)/3, область определения: R.

Задача 3. Для f(x) = x² при x ≥ 0 найдите f⁻¹ и проверьте взаимную обратность. Ограничение x ≥ 0 важно, потому что оно позволяет выбрать только один корень при извлечении квадратного корня. Сначала найдём формулу, затем проверим оба составных действия.

1. Пишем y = x², где x ≥ 0, и меняем переменные: x = y². Тогда y = √x, поскольку значение y должно быть неотрицательным.
2. Исходная функция принимает значения [0; +∞), поэтому область определения f⁻¹ — [0; +∞). Множество значений f⁻¹ равно [0; +∞), то есть исходной области определения.
3. Проверяем: f⁻¹(f(x)) = √(x²) = x при x ≥ 0, а f(f⁻¹(x)) = (√x)² = x при x ≥ 0.

Ответ: f⁻¹(x) = √x при x ≥ 0; функции взаимно обратны на указанных областях.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что обратная функция есть у любой функции. Так думают, потому что любую формулу можно попытаться преобразовать, но результат может зависеть от выбора корня. Проверьте, не получается ли одно значение f(x) при двух разных аргументах.

Ошибка 2. После перестановки x и y не выразить новую y. Одного обмена букв недостаточно: полученное равенство ещё не является формулой обратной функции. Проверьте, стоит ли в итоге y отдельно слева.

Ошибка 3. Принимать f⁻¹(x) за 1/f(x). Эти записи обозначают разные действия: первая восстанавливает аргумент, а вторая даёт обратное число. Проверить себя можно подстановкой: для обратной функции должны выполняться композиции с результатом x.

Ошибка 4. Оставлять обратной функции прежнюю область определения. Она принимает на вход значения f, а не исходные аргументы. Найдите множество значений исходной функции и используйте именно его.

Связь с другими темами

До изучения обратной функции нужно уметь находить область определения и множество значений, а также вычислять значение функции по формуле. Без этих навыков трудно правильно указать допустимые x для обратной функции.

При поиске обратной функции приходится решать уравнения относительно одной переменной и преобразовывать формулы. Поэтому полезно уверенно выполнять перенос слагаемых, деление и извлечение корня с учётом ограничений.

Обратные функции используются при изучении показательной и логарифмической функций. Они также помогают заменять неизвестную величину её результатом и решать уравнения обратным переходом.

Что запомнить

• Обратная функция восстанавливает аргумент исходной функции по её значению.
• Для существования обратной каждому значению исходной функции должен соответствовать ровно один аргумент.
• Формулу обратной находят перестановкой x и y с последующим выражением y.
• Область определения f⁻¹ — множество значений f.
• Множество значений f⁻¹ — область определения f.
• Графики f и f⁻¹ симметричны относительно прямой y = x.