"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Корень n-й степени из числа a — это число, которое при возведении в степень n даёт a. Такая операция помогает решить обратную задачу: по результату степени найти исходное число. При нечётном показателе корень существует для любого действительного числа, а при чётном из отрицательного числа действительного корня нет. Арифметический корень чётной степени всегда неотрицателен, поэтому его значение не следует путать со всеми решениями уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа a — это число, которое при возведении в степень n даёт a. Его записывают как √[n]{a}; тогда (√[n]{a})ⁿ = a. Такое обозначение позволяет кратко записать обратное действие к возведению в степень.
Арифметический корень n-й степени — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. При чётном n и a ≥ 0 его обозначают √[n]{a}. Это определение выбирает одно значение, чтобы знак корня всегда указывал на определённое неотрицательное число.
Корень нечётной степени из числа a — единственное действительное число, n-я степень которого равна a. Он существует при любом действительном a, в том числе отрицательном. Это позволяет решать задачу извлечения корня нечётной степени без ограничения на знак подкоренного числа.
В записи √[n]{a} число a называют подкоренным выражением, а n — показателем корня. Показатель n — натуральное число больше единицы: он указывает, в какую степень надо возвести результат. Если показатель не указан, записывают квадратный корень, то есть корень второй степени.
Возведение в степень отвечает на вопрос: какое число получится, если умножить число на себя n раз? Извлечение корня ставит обратный вопрос: какое число было возведено в эту степень, чтобы получить a? Поэтому определение корня проверяют возведением найденного числа в нужную степень. Например, число 3 подходит к √[4]{81}, потому что 3⁴ = 81.
Если n нечётное, числа разных знаков после возведения в степень сохраняют свои знаки: положительное даёт положительное, отрицательное — отрицательное. Кроме того, при увеличении x значение xⁿ тоже увеличивается и может стать сколь угодно большим или малым. Значит, значения такой степени покрывают всю числовую прямую, и для любого a находится подходящее x. Одно и то же значение a не получается от двух разных x, поэтому корень единственный.
При чётном n знак исходного числа после возведения в степень исчезает: xⁿ = (−x)ⁿ. Поэтому, если a > 0, уравнение xⁿ = a имеет два решения: положительное и противоположное ему отрицательное. Например, уравнению x⁴ = 81 подходят 3 и −3. Арифметическим корнем называют только неотрицательное решение, чтобы обозначение √[n]{a} имело одно значение.
Когда при чётном n число a равно нулю, уравнение xⁿ = 0 имеет решение x = 0: только ноль при возведении в степень даёт ноль. Если же a < 0, действительного решения нет, потому что чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Значит, арифметический корень чётной степени определён лишь при a ≥ 0. Для нечётного показателя это ограничение не действует.
Запись корня и уравнение xⁿ = a связаны условием (√[n]{a})ⁿ = a, но отвечают на разные вопросы. Знак корня задаёт выбранное значение: для чётной степени это неотрицательное число. Уравнение же требует найти все числа, удовлетворяющие равенству, поэтому при чётной степени положительного a у него два решения. Чтобы не потерять решение, сначала выясни, что требуется: вычислить корень или решить уравнение.
| Показатель n | Допустимые значения a | Число действительных корней уравнения xⁿ = a | Значение арифметического корня √[n]{a} |
|---|---|---|---|
| n нечётное | Любое действительное a | Один | Единственное действительное число, n-я степень которого равна a |
| n чётное, a > 0 | Положительные a | Два: противоположные числа | Положительное решение |
| n чётное, a = 0 | Ноль | Один: x = 0 | 0 |
| n чётное, a < 0 | Таких значений нет для действительного арифметического корня | Ни одного | Не определён в действительных числах |
Сначала определи, чётный показатель или нечётный, а затем сравни a с нулём. Столбец с числом решений относится к уравнению xⁿ = a, а последний столбец — к арифметическому корню. Не смешивай эти два результата.
Задача. Найти √[3]{−27}. Корень третьей степени должен быть таким числом, куб которого равен −27. Поскольку показатель нечётный, ответ может быть отрицательным.
Ответ: √[3]{−27} = −3. Проверка состоит в возведении ответа в третью степень: результат совпадает с подкоренным числом.
Задача. Найти √[4]{81} и решить уравнение x⁴ = 81. Сначала вычислим арифметический корень, а затем отдельно перечислим все решения уравнения. Это важно, потому что требуется выполнить две разные задачи.
Ответ: √[4]{81} = 3; уравнение имеет решения x = −3 и x = 3. Минус не ставят перед арифметическим корнем, но он может быть одним из решений уравнения.
Задача. Определить, имеет ли смысл в действительных числах √[6]{−64}, и решить уравнение x⁵ = −32. В первой записи показатель чётный, а во втором уравнении — нечётный. Каждый случай надо проверить отдельно, не перенося условие с одного на другой.
Ответ: √[6]{−64} не определён в действительных числах; уравнение x⁵ = −32 имеет решение x = −2.
Ошибка — считать, что √[n]{a} обозначает все решения уравнения xⁿ = a. Её допускают, когда подменяют вычисление корня решением уравнения. Проверь, что именно спрашивают: арифметический корень чётной степени неотрицателен, а у уравнения при положительном a есть два решения.
Ошибка — записывать √[4]{16} = −2, потому что (−2)⁴ = 16. Здесь проверка степени верна, но нарушено условие, что арифметический корень неотрицателен. Проверь оба числа: 2⁴ и (−2)⁴ равны 16, однако значение √[4]{16} — 2.
Ошибка — искать действительный корень чётной степени из отрицательного числа. Так бывает, если забыть, что возведение в чётную степень убирает знак и даёт неотрицательный результат. Перед вычислением проверь знак подкоренного числа: если показатель чётный и a < 0, действительного корня нет.
Ошибка — считать, что корень нечётной степени из отрицательного числа не существует. Такое рассуждение переносит условие для чётной степени на нечётную. Для проверки возведи отрицательное число в нечётную степень: знак останется отрицательным, например (−3)³ = −27.
Чтобы работать с корнями, нужно уметь возводить числа в натуральную степень, различать чётные и нечётные числа и решать уравнения вида xⁿ = a. Эти знания помогают понять, сколько корней возможно и допустимо ли подкоренное число. Дальше корень n-й степени пригодится при изучении степенных функций, преобразовании выражений с корнями и решении уравнений.
Почему арифметический корень чётной степени не может быть отрицательным?
Арифметический корень чётной степени по определению является неотрицательным числом. Отрицательное число при возведении в чётную степень тоже даёт положительный результат, но его не обозначают знаком арифметического корня.
Чем корень n-й степени отличается от решения уравнения x^n = a?
Корень n-й степени — это число, которое в степени n даёт a. Уравнение xⁿ = a может иметь несколько решений, а знак арифметического корня чётной степени обозначает только неотрицательное из них.
Можно ли извлечь корень нечётной степени из отрицательного числа?
Да. При нечётном показателе отрицательное число в этой степени остаётся отрицательным, поэтому для любого отрицательного a существует действительный корень. Например, ∛(−27) = −3.
Почему нельзя извлечь действительный корень чётной степени из отрицательного числа?
Чётная степень любого действительного числа неотрицательна: пары одинаковых множителей дают положительный результат или ноль. Поэтому ни одно действительное число в чётной степени не может дать отрицательное число.
Сколько решений может иметь уравнение x^n = a?
При нечётном n у уравнения ровно одно действительное решение для любого a. При чётном n и a > 0 решений два, при a = 0 — одно, а при a < 0 действительных решений нет.
21. Определение корня n-й степени
