"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Корень n-й степени помогает находить число, которое при возведении в степень n даёт подкоренное выражение. Его свойства позволяют заменять корень произведения произведением корней, а корень частного — частным корней. Можно также объединять последовательные извлечения корней и упрощать корни из степеней. Для чётного показателя нужно следить за неотрицательностью подкоренного выражения: именно она объясняет, почему √[n]{aⁿ} иногда равен |a|, а не a.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень произведения — свойство, по которому корень n-й степени из произведения равен произведению корней той же степени: √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b}. Для чётного n оба подкоренных множителя должны быть неотрицательными. Свойство помогает разложить число на удобные множители и извлечь корень проще.
Корень частного — свойство, по которому корень n-й степени из дроби равен дроби из корней той же степени: √[n]{a/b} = √[n]{a}/√[n]{b}. Знаменатель b не должен быть равен нулю, а при чётном n подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это правило позволяет упростить дробь под корнем или разделить её на более простые части.
Корень из корня — последовательное извлечение корней, которое можно заменить одним корнем: √[n]{√[m]{a}} = √[nm]{a}. При этом выражения должны быть определены. Правило удобно, когда в записи один корень находится под другим и требуется сделать выражение короче.
Корень из степени связывает √[n]{aⁿ} с исходным числом a: при нечётном n результат равен a, а при чётном — |a|. Модуль числа |a| показывает расстояние от a до нуля и всегда неотрицателен. Эта запись помогает правильно убирать корень и степень, не теряя знак числа.
Свойство произведения следует из определения корня. Пусть при чётном n числа a и b неотрицательны, а x = √[n]{a} и y = √[n]{b}; тогда x и y тоже неотрицательны. При возведении произведения xy в степень n получаем (xy)ⁿ = xⁿyⁿ = ab, значит, xy — арифметический корень из ab. Для нечётного n корень определён и при отрицательных множителях, а равенство также подтверждается возведением обеих частей в n-ю степень.
Свойство частного объясняется похожим образом. Если b ≠ 0, то частное √[n]{a}/√[n]{b} определено, а его n-я степень равна a/b. При чётном n нужно, чтобы a и b были неотрицательны; условие b ≠ 0 дополнительно гарантирует, что знаменатель дроби не исчезнет. Поэтому нельзя применять правило, не проверив одновременно знак подкоренных выражений и знаменатель.
Чтобы понять связь корня и степени, нужно помнить, что арифметический корень чётной степени выбирают неотрицательным. Если a ≥ 0, то √[n]{aⁿ} = a, но если a < 0, число a не может быть ответом: оно отрицательно. Например, при a = −3 четвёртая степень равна 81, а арифметический корень четвёртой степени из 81 равен 3, то есть |a|. При нечётном n знак сохраняется, поэтому √[n]{aⁿ} = a даже для отрицательного a.
В корне из корня показатели перемножаются, потому что степень сложного выражения раскрывается последовательно. Если сначала возвести √[n]{√[m]{a}} в степень n, останется внутренний корень √[m]{a}; возведение результата в степень m даст a. Значит, полученное число является корнем степени nm из a. Условия существования при этом сохраняются: например, при чётном показателе подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Для упрощения выражения сначала разложи подкоренное число на множители, среди которых есть полные степени. Например, 72 = 36 · 2, поэтому √72 = √36 · √2 = 6√2. Из-под квадратного корня выносят множитель, корень из квадрата которого извлекается точно; для нечётной степени аналогично выделяют множитель в полной степени n. В конце проверь, что каждое преобразование допустимо: при чётном корне подкоренное выражение неотрицательно, а в дроби знаменатель не равен нулю.
| Свойство | Запись | Условия |
|---|---|---|
| Корень произведения | √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b} | При чётном n: a ≥ 0 и b ≥ 0; при нечётном ограничений по знаку нет. |
| Корень частного | √[n]{a/b} = √[n]{a}/√[n]{b} | b ≠ 0; при чётном n: a ≥ 0 и b > 0. |
| Корень из корня | √[n]{√[m]{a}} = √[nm]{a} | Выражения должны быть определены; для чётного корня подкоренное выражение неотрицательно. |
| Корень из степени | √[n]{aⁿ} = a при нечётном n; |a| при чётном n | При чётном n арифметический корень определён для неотрицательного подкоренного выражения. |
Сначала найди в строке нужное действие: произведение, деление, корень под корнем или степень под корнем. Затем проверь условия именно этой строки, прежде чем заменять одну запись другой. Если выражение содержит несколько действий, применяй свойства по очереди и после каждого шага следи за знаками и знаменателями.
Задача 1. Упростить выражение ∛(8 · 27). Здесь под кубическим корнем стоит произведение, а оба множителя имеют точные кубические корни. Поэтому можно применить свойство корня произведения, а затем вычислить каждый корень отдельно.
Задача 2. Упростить выражение √(72/2). Можно применить свойство корня частного, но здесь особенно просто сначала выполнить деление под корнем. Проверим, что знаменатель не равен нулю и подкоренное выражение неотрицательно.
Задача 3. Упростить √[4]{(−3)⁴} и сравнить с √[3]{(−3)³}. В первом выражении показатель чётный, поэтому арифметический корень не может быть отрицательным. Во втором корень кубический, и знак отрицательного числа сохраняется.
Записывают √[n]{aⁿ} = a при любом n и получают неверный знак, если a отрицательно, а n чётно. Ошибка возникает из-за привычки сокращать корень и степень, не вспоминая об определении арифметического корня. Проверь чётность n и знак a: при чётном n запиши |a|, при нечётном — a.
Применяют свойства произведения или частного, не проверив, существуют ли корни. Для чётного показателя отрицательное подкоренное выражение недопустимо, а в свойстве частного знаменатель не может быть нулём. Перед преобразованием подставь условия в каждое подкоренное выражение и отдельно проверь знаменатель.
Считают, что корень можно распределить по сумме: √(a + b) = √a + √b. Так ошибочно переносят свойство произведения на сложение, хотя оно для суммы не действует. Проверь равенство на простом примере: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7.
В свойстве корня из корня могут неверно перемножить показатели или оставить их без изменения. Например, √[n]{√[m]{a}} превращается в √[nm]{a}, а не в корень со сложенным или повторённым показателем. Чтобы проверить запись, представь последовательные возведения результата в степени n и m: их общий показатель равен nm.
Для работы со свойствами корней нужно знать определение арифметического корня n-й степени и условия, при которых он существует. Также пригодятся свойства степеней: они объясняют, как проверять результат возведением в степень и почему при последовательных действиях показатели перемножаются. Если эти основы знакомы, новые правила можно не заучивать отдельно, а выводить.
Свойства корней помогают упрощать иррациональные выражения — выражения, содержащие корни, — и выполнять преобразования в уравнениях с корнями. Упрощение часто делает уравнение удобнее, но каждое преобразование должно сохранять допустимость выражения. Поэтому вместе с вычислениями важно следить за областью допустимых значений.
Почему корень чётной степени не может быть отрицательным?
Арифметическим корнем чётной степени называют неотрицательное число, степень которого равна подкоренному выражению. Отрицательное число при возведении в чётную степень тоже даёт положительное число, поэтому корень выбирают неотрицательный.
Когда корень из степени равен модулю числа?
Когда показатель корня n чётный: √[n]{aⁿ} = |a|. Модуль нужен, потому что арифметический корень неотрицателен, даже если a отрицательно.
Можно ли извлекать корень из суммы по частям?
Нет, в общем случае √(a + b) не равно √a + √b. Свойства корня произведения и частного не распространяются на сложение и вычитание.
Какие условия нужно проверить перед применением свойства корня частного?
При чётном показателе числитель и знаменатель подкоренной дроби должны быть неотрицательными, а знаменатель дроби — не равен нулю. Также корни в правой части должны быть определены.
Почему при извлечении корня из корня показатели перемножаются?
Если результат возвести сначала в степень внутреннего корня, а затем в степень внешнего, показатели перемножатся. Поэтому последовательное извлечение корней степеней m и n равносильно извлечению корня степени mn.
22. Свойства корня n-й степени
