"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Степень с рациональным показателем позволяет записывать корни в виде степеней и применять к ним привычные правила действий. В показателе m/n знаменатель n задаёт корень n-й степени, а числитель m — степень. Для положительного основания это определение согласуется с целыми степенями. Чтобы правильно упрощать выражения, нужно знать свойства степеней и проверять, допустимы ли основания, особенно при делении и отрицательных показателях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональный показатель — число, которое можно представить дробью m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Дробь в показателе записывают в несократимом виде. Например, 2/6 сначала сокращают до 1/3. Так показатель однозначно задаёт, какой корень и какую степень использовать.
Для положительного основания a степень с рациональным показателем определяют равенством a^(m/n) = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m). Например, показатель 3/4 означает, что нужно извлечь корень четвёртой степени и возвести результат в третью степень. Это определение расширяет знакомое понятие степени на дробные показатели. Для целых m и n оно согласуется с уже известными степенями.
Корень n-й степени из числа a — число, которое при возведении в степень n даёт a. Например, √[3]{8} = 2, потому что 2³ = 8. Если n чётное, в школьном определении берут неотрицательный корень: √9 = 3, а не −3. Это помогает однозначно понимать запись корня.
Степень с отрицательным рациональным показателем определяют как обратную к степени с противоположным показателем: a^(−r) = 1/a^r при a > 0. Например, a^(−1/2) = 1/√a. Такое правило продолжает знакомое определение отрицательной целой степени. Нулевое основание исключено, поскольку обратного к нулю числа нет.
Дробный показатель связывает две операции: извлечение корня и возведение в степень. Если показатель равен m/n, знаменатель n указывает порядок корня, а числитель m — степень результата. Так, a^(2/3) можно прочитать как квадратный? Нет: здесь нужно извлечь корень третьей степени и возвести его в квадрат. Эта запись удобна, когда выражение содержит корни, но свойства степеней применять проще.
В определении можно сначала извлечь корень, а потом возвести результат в степень, или сначала возвести основание в степень и извлечь корень. Для положительного a обе последовательности дают одно число: если b = ⁿ√a, то bⁿ = a, а значит, (b^m)ⁿ = a^m. Следовательно, b^m является неотрицательным корнем n-й степени из a^m, когда n чётное. Поэтому записи (ⁿ√a)^m и ⁿ√(a^m) согласуются.
Правила для рациональных показателей следуют из свойств целых степеней и определения через корень. При умножении одинаковых оснований показатели складываются, а при делении вычитаются: корневые и степенные записи сводятся к тем же правилам для целых показателей. При возведении степени в степень показатели перемножаются. Аналогично раскрываются степени произведения и частного, если все нужные корни и деления определены.
Условия на основание нужны не формально: они гарантируют, что выражение существует в действительных числах и формулы не приводят к делению на ноль. В этой теме основание рассматривают положительным, поэтому можно извлекать корень любого натурального порядка и применять правила без оговорок о знаке. При отрицательном показателе основание тем более не может быть нулём, ведь появляется обратная величина. Для отрицательных оснований отдельно проверяют, существует ли корень чётной степени.
Чтобы упростить выражение, сначала определите, какое действие выполняется между степенями, и примените подходящее свойство. Если показатели дробные, их можно привести к общему знаменателю, чтобы легче сложить или вычесть. После упрощения проверьте, не исчезло ли условие на основание: при делении исходный знаменатель должен быть ненулевым. Такой порядок помогает избежать ошибок даже в длинных выражениях.
| Свойство | Формула | Условия |
|---|---|---|
| Произведение степеней с одинаковым основанием | a^r · a^s = a^(r+s) | a > 0 |
| Частное степеней с одинаковым основанием | a^r / a^s = a^(r−s) | a > 0 |
| Степень степени | (a^r)^s = a^(rs) | a > 0 |
| Степень произведения | (ab)^r = a^r · b^r | a > 0, b > 0 |
| Степень частного | (a/b)^r = a^r / b^r | a > 0, b > 0 |
Сначала найдите действие между степенями и выберите соответствующую строку: умножение, деление или возведение в степень требуют разных правил. Для степеней произведения и частного проверьте условия на оба основания. Затем выполните действия с показателями и убедитесь, что в исходном выражении не было запрещённого деления на ноль.
Знаменатель 4 показывает, что нужен корень четвёртой степени, а числитель 3 — что результат возводят в куб. Удобнее сначала извлечь корень: так числа останутся небольшими. Основание положительно, поэтому корень определён.
Ответ: 8.
Здесь перемножаются степени с одинаковым основанием, значит, применяем правило произведения и складываем показатели. Основание 27 положительно, поэтому свойство применимо. После сложения показатель окажется целым, и вычисление станет простым.
Ответ: 27.
Внутри скобок делятся степени с одинаковым основанием, поэтому сначала вычтем показатели. Затем применим правило степени степени: оставшийся показатель умножится на 4. Условие x > 0 обеспечивает допустимость степеней и деления.
Ответ: x^(7/3).
Иногда считают, что знаменатель дробного показателя задаёт степень, а числитель — корень. Это происходит из-за того, что обе операции записаны рядом, но их роли обратные: n задаёт корень, m — степень. Чтобы проверить себя, прочитайте a^(m/n) как «корень n-й степени из a, затем степень m». Например, a^(2/3) — кубический корень, возведённый в квадрат.
Правило a^r / a^s = a^(r−s) применяют, забывая проверить основание. При a = 0 в знаменателе может оказаться нулевая степень или выражение с отрицательным показателем, и исходное деление окажется недопустимым. Ошибка возникает, когда следят только за показателями, а не за исходной дробью. Проверьте, что делитель не равен нулю и основание удовлетворяет условиям определения.
Свойства степеней иногда переносят на отрицательные основания без проверки корня. В действительных числах чётный корень из отрицательного числа не определён, поэтому такая запись не имеет смысла. Путают это ограничение, потому что правила выглядят похожими на правила целых степеней. Перед вычислением посмотрите на знаменатель показателя: если он чётный, отрицательное подкоренное число недопустимо.
Другая ошибка — складывать или перемножать показатели при любом действии. Показатели складывают при умножении одинаковых оснований, вычитают при делении, а перемножают при возведении степени в степень. Причина ошибки — попытка запомнить только числа, не замечая структуру выражения. Для самопроверки сначала назовите действие между степенями, а затем выбирайте правило, которое ему соответствует.
Перед изучением темы нужно знать свойства целых степеней, правила действий с дробями и понятие корня n-й степени. Именно эти знания объясняют, почему показатели складывают, вычитают или перемножают, а дробные показатели можно преобразовывать. Если уверенно выполнять действия с дробями и корнями, легче избежать ошибок при упрощении степеней.
Степени с рациональными показателями пригодятся при упрощении выражений с корнями и при решении уравнений. Они также встречаются при изучении функций вида y = x^r, где показатель может быть дробным. Это позволяет записывать некоторые выражения короче и применять к ним общие правила.
Почему в степени m/n именно n показывает, какой корень нужно извлечь?
Потому что возведение числа в степень n и извлечение корня n-й степени — обратные действия. Поэтому a^(1/n) обозначает корень n-й степени из a, а числитель m указывает, в какую степень возвести результат.
Можно ли определить степень с рациональным показателем для отрицательного основания?
В действительных числах это возможно не для всех показателей. Например, корень нечётной степени из отрицательного числа существует, а корень чётной степени — нет. В этом параграфе свойства формулируются для положительных оснований, поэтому они применимы без таких затруднений.
Почему основание не должно быть нулём при отрицательном показателе?
Отрицательный показатель означает обратное число: a^(−r) = 1/a^r. При a = 0 знаменатель дроби равен нулю, а делить на ноль нельзя.
Можно ли сначала возвести число в числитель показателя, а потом извлечь корень?
Для положительного основания да: a^(m/n) = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m. Обе записи дают один результат, потому что возведение в степень и извлечение корня связаны обратным действием. Для чётного корня условие о неотрицательном значении корня сохраняется.
Как понять, какое свойство степеней применить при упрощении выражения?
Посмотрите на действие: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают, а при возведении степени в степень — перемножают. Для степени произведения или частного используйте соответствующее правило из таблицы. Перед вычислениями проверьте условия на основания.
23. Степень с рациональным показателем и её свойства
