§ 4. Числовая окружность

Определения и обозначения

Числовая окружность — окружность, точкам которой сопоставляют числа по длине дуги, пройденной от начальной точки. Число показывает положение на окружности и направление движения. Это позволяет изображать числа не только на прямой, но и как угловые перемещения.

Единичная окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом 1. На ней длина дуги равна радианной мере соответствующего центрального угла. Такой радиус удобен, потому что позволяет напрямую связывать дугу, угол и координаты точки.

Радианная мера угла — отношение длины дуги, на которую опирается угол, к радиусу окружности. Например, если дуга равна радиусу, угол равен 1 радиану. Это определение помогает выражать углы числами без привязки к конкретному размеру окружности.

Координата точки числовой окружности — число, задающее положение точки при движении от начальной точки. Координата учитывает направление и пройденные полные обороты. Поэтому одной точке могут соответствовать разные числа, но они отличаются на целое число полных оборотов.

Как это устроено

Для числовой окружности выбирают радиус 1, чтобы длина дуги совпадала с радианной мерой центрального угла: в формуле радианная мера равна длине дуги, делённой на радиус. При радиусе, отличном от единицы, длина дуги и угол в радианах численно не совпадают. Единичная окружность тем самым упрощает переход от угла к расстоянию. Она же позволяет связать число с координатами точки без дополнительных масштабных коэффициентов.

Начальной точкой служит пересечение окружности с положительной полуосью Ox, то есть точка (1; 0). От неё положительные числа откладывают против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой. Такое соглашение согласуется с обычным направлением отсчёта углов на координатной плоскости. Оно также помогает однозначно понять, в какую сторону двигаться, если число имеет знак минус.

Один полный оборот по единичной окружности имеет длину 2π: длина любой окружности равна 2πR, а здесь R = 1. После такого пути движение приводит обратно к исходной точке. Поэтому числа t и t + 2π задают одну точку, как и числа t − 2π, t + 4π и другие варианты. В общем виде все числа, соответствующие одной точке, записываются как t + 2πk, где k — целое число.

Чтобы определить точку по числу, начинают от (1; 0) и откладывают дугу нужной длины в направлении, которое задаёт знак. Если модуль числа больше 2π, сначала можно выделить полные обороты: каждый из них возвращает движение к той же точке. Например, числа t и t − 2πk приводят в одинаковое место, если k — целое. Оставшаяся часть пути показывает положение точки внутри очередного оборота.

Для числа t координаты соответствующей точки единичной окружности равны (cos t; sin t). Косинус задаёт горизонтальную координату, то есть расстояние со знаком от точки до оси Oy, а синус — вертикальную координату относительно оси Ox. Это следует из определения синуса и косинуса через координаты на единичной окружности. Поэтому знак каждой координаты сразу помогает определить четверть, в которой находится точка.

Основные числа и точки числовой окружности

Используйте таблицу, когда нужно быстро вспомнить положение стандартного угла или координаты точки. Сначала определите, сколько оборотов и какую часть оборота задаёт число, затем сверьте точку и её координаты. Числа 0 и 2π различаются, но соответствуют одному месту.

Разбор задач

Задача 1

Отметьте на числовой окружности точку, соответствующую числу π/2, и укажите её координаты. Нужно понять, какую часть оборота составляет это число, и отложить её от начальной точки. Полный оборот равен 2π, поэтому π/2 — четверть оборота.

1. Начальная точка находится справа, в координатах (1; 0).
2. Так как число положительное, движемся против часовой стрелки.
3. Откладываем четверть окружности и попадаем в верхнюю точку. На единичной окружности её координаты равны (0; 1).

Ответ: точка (0; 1).

Задача 2

Найдите точку, соответствующую числу −5π/6, и число из промежутка [0; 2π), задающее ту же точку. Минус означает движение по часовой стрелке, а модуль числа равен 5π/6. Чтобы получить положительное число в заданном промежутке, добавим полный оборот 2π.

1. От точки (1; 0) откладываем по часовой стрелке угол 5π/6. Точка окажется в третьей четверти, поскольку пройдено больше π/2, но меньше π.
2. Вычисляем эквивалентное число: −5π/6 + 2π = −5π/6 + 12π/6 = 7π/6.
3. Число 7π/6 лежит в [0; 2π) и задаёт ту же точку, что −5π/6. Её координаты можно найти по формулам: (cos 7π/6; sin 7π/6) = (−√3/2; −1/2).

Ответ: точка третьей четверти с координатами (−√3/2; −1/2); число из заданного промежутка — 7π/6.

Задача 3

Точка числовой окружности имеет координаты (−√3/2; 1/2). Найдите все числа, которые ей соответствуют. Первая координата отрицательна, а вторая положительна, значит, точка находится во второй четверти. Опорный угол π/6, потому что значения модулей координат равны √3/2 и 1/2.

1. Во второй четверти точке с опорным углом π/6 соответствует угол π − π/6 = 5π/6.
2. Это одно число, задающее нужную точку за один оборот от начала отсчёта.
3. Все остальные числа для той же точки получаются прибавлением или вычитанием целого числа полных оборотов, то есть 2πk.

Ответ: 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.

Типичные ошибки

Путать радианную меру с длиной дуги на окружности любого радиуса — ошибка: эти величины совпадают численно только при радиусе 1. Путаница возникает потому, что в теме часто говорят о дуге и угле одновременно. Проверьте себя по формуле: радианная мера равна длине дуги, делённой на радиус.

Считать, что точке соответствует только одно число, неверно: после каждого полного оборота мы снова попадаем туда же. Обычно это забывают, когда записывают ответ для всех чисел, соответствующих точке. Проверка простая: прибавьте к найденному числу 2π — координаты точки не изменятся.

Откладывать отрицательное число против часовой стрелки нельзя: минус задаёт движение по часовой стрелке. Такая ошибка возникает, если учитывать только модуль числа и игнорировать знак. Перед построением отметьте направление движения и проверьте его по числу −π/2: оно приводит в нижнюю точку.

Прибавлять π вместо 2π для получения того же места тоже неправильно. Число π задаёт половину оборота, поэтому приводит в диаметрально противоположную точку. Ошибку можно выявить, сравнив координаты: после поворота на π обе координаты меняют знак, а после поворота на 2π остаются прежними.

Связь с другими темами

Для работы с числовой окружностью нужны координатная плоскость, представление об окружности и её длине, а также понятие центрального угла. Длина окружности объясняет, почему полный оборот соответствует 2π, а координаты помогают записывать положение точки. Если эти основы знакомы, движение по окружности можно переводить в язык чисел и координат.

Числовая окружность становится опорой при изучении тригонометрических функций: по координатам точки определяют значения синуса и косинуса. Возврат в ту же точку через 2π объясняет периодичность этих функций. Те же свойства помогают находить решения тригонометрических уравнений и записывать их целыми семействами.

Что запомнить

• Радиус единичной окружности равен 1.
• Длина полного оборота по единичной окружности равна 2π.
• Положительные числа откладывают против часовой стрелки, отрицательные — по часовой.
• Числа t и t + 2πk задают одну точку при любом целом k.
• Координаты точки, соответствующей числу t, — (cos t; sin t).
• Начальная точка имеет координаты (1; 0) и соответствует числам 2πk.