§ 11. Числовая окружность

Определения и обозначения

Числовая окружность — единичная окружность с начальной точкой (1; 0) и выбранным положительным направлением обхода; каждой точке на ней сопоставляют число. Единичная означает, что радиус равен 1. Такая модель позволяет наглядно представлять числа как положения на окружности и работать с углами.

Координата точки числовой окружности — число, равное длине пройденной дуги от начальной точки с учётом направления обхода. Начинают отсчёт от (1; 0), а не от произвольного места окружности. Координата помогает точно описать, насколько далеко и в какую сторону прошли по окружности.

Положительное направление обхода — движение против часовой стрелки; при движении по часовой стрелке координата становится отрицательной. Знак числа показывает направление, а не то, в какой части окружности оказалась точка. Это соглашение делает отсчёт однозначным и позволяет работать с углами обоих знаков.

Радианная мера угла — величина угла, равная отношению длины соответствующей дуги к радиусу. На единичной окружности радиус равен 1, поэтому радианная мера совпадает с длиной дуги. Благодаря этому координату точки можно одновременно понимать как пройденную дугу и как угол в радианах.

Как это устроено

Окружность берут единичной, чтобы не пересчитывать длину дуги с учётом другого радиуса. В общем случае радианная мера угла получается делением длины дуги на радиус. Когда радиус равен 1, деление не меняет длину: дуга сразу выражает угол в радианах. Поэтому числовая окружность связывает расстояние по окружности с числовой координатой особенно просто.

Отсчёт начинают в точке (1; 0), и ей соответствует число 0: путь ещё не пройден. Затем движение против часовой стрелки считают положительным, поэтому положительные числа задают точки, встречающиеся при таком обходе. Если двигаться по часовой стрелке, пройденную дугу записывают со знаком минус. Например, четверть оборота против часовой стрелки даёт π/2, а в обратную сторону — −π/2.

Длина полного круга радиуса 1 равна 2π · 1 = 2π, поэтому возвращение в начальную точку после одного оборота соответствует числу 2π. После каждого следующего оборота точка снова повторяется, хотя числовая координата меняется. Значит, числа t и t + 2πk задают одну точку при любом целом k: положительное k добавляет обороты против часовой стрелки, отрицательное — по часовой. Это объясняет периодичность координат на окружности.

Число π соответствует половине окружности, потому что половина длины полного круга 2π равна π; в этой точке оказываются напротив начальной. Число π/2 задаёт четверть оборота, а 3π/2 — три четверти. Знак координаты определяет направление первого обхода от начала отсчёта: плюс — против часовой стрелки, минус — по часовой. Если число больше 2π или меньше −2π, можно убрать целое число полных оборотов и сохранить ту же точку.

Четверти удобно определять по промежутку, в который попадает координата после добавления или вычитания полных оборотов. В диапазоне от 0 до 2π первая четверть соответствует значениям между 0 и π/2, вторая — между π/2 и π, третья — между π и 3π/2, четвёртая — между 3π/2 и 2π. Граничные значения лежат на осях, а не внутри четвертей. Если точка известна, все её координаты получают, прибавляя к одному известному числу 2πk, где k ∈ Z.

Числа и соответствующие им точки числовой окружности

Для чтения таблицы сначала найдите число в первом столбце, затем сверьте положение точки и её координаты по двум осям. Точки с числами 0 и 2π совпадают, поскольку между ними один полный оборот. Дробные значения π/6, π/4 и π/3 лежат в первой четверти, но соответствуют разным положениям и координатам.

Разбор задач

Отметить точки π/2 и −π/2

Нужно отложить обе координаты от начальной точки (1; 0), учитывая знак. Модуль каждой координаты равен π/2, то есть это четверть полного оборота. Разница будет только в направлении движения. Поэтому точки окажутся на концах вертикального диаметра.

1. Для π/2 двигайтесь от (1; 0) против часовой стрелки на четверть окружности. Конечная точка будет наверху, на положительной полуоси y.
2. Для −π/2 двигайтесь от начала отсчёта по часовой стрелке на четверть окружности. Конечная точка будет внизу, на отрицательной полуоси y.
3. Проверьте результат: точки должны быть диаметрально противоположны, а каждая — находиться на расстоянии четверти круга от (1; 0).

Ответ: π/2 соответствует точке (0; 1), а −π/2 — точке (0; −1).

Определить точку 7π/4

Координату нужно привести к промежутку [0; 2π), который содержит ровно один полный оборот без повторения начальной точки. Поскольку 7π/4 меньше 2π, она уже находится в нужном промежутке. Сравнение с границами четвертей покажет положение точки.

1. Запишите полный оборот в долях π: 2π = 8π/4. Тогда 7π/4 не требует сокращения на 2π.
2. Сравните число с границами: 3π/2 = 6π/4, а 2π = 8π/4. Получается 6π/4 < 7π/4 < 8π/4, значит точка лежит в четвёртой четверти.
3. Чтобы получить координаты точки, заметим, что 7π/4 = 2π − π/4. Это угол на π/4 до полного оборота, поэтому точка находится ниже и правее центра.

Ответ: точка лежит в четвёртой четверти; координата из [0; 2π) — 7π/4.

Найти координаты точки π/3 в промежутке [−4π; 4π]

Одна точка повторяется через полный оборот, поэтому все её координаты записываются как π/3 + 2πk, где k — целое число. Чтобы выбрать координаты из заданного промежутка, нужно подобрать допустимые целые k. Проверка границ важна: число должно быть не меньше −4π и не больше 4π.

1. Запишите общее выражение: t = π/3 + 2πk, k ∈ Z. Приведите к общему знаменателю: t = (1 + 6k)π/3.
2. Подставляйте целые k и проверяйте границы. При k = −2 получаем −11π/3, при k = −1 — −5π/3, при k = 0 — π/3, при k = 1 — 7π/3, при k = 2 — 13π/3.
3. Числа при k = −2 и k = 2 выходят за пределы: −11π/3 < −4π и 13π/3 > 4π. Значения при k = −1, 0 и 1 находятся внутри заданного промежутка.

Ответ: все числа имеют вид π/3 + 2πk, k ∈ Z; в промежутке [−4π; 4π] это −5π/3, π/3 и 7π/3.

Типичные ошибки

Принимать π за полный оборот. Так ошибаются, если путают половину длины окружности с полной длиной. Но полный оборот равен 2π, а π ведёт в точку, диаметрально противоположную начальной. Проверьте себя: после π должен быть пройден только полукруг, поэтому координата ещё не вернулась к (1; 0).

Не учитывать отрицательное направление. Иногда знак минус воспринимают как отметку числа на линейке, а не как движение по окружности. Отрицательную координату нужно откладывать от (1; 0) по часовой стрелке. Проверка проста: сравните выбранное направление со знаком исходного числа.

Записывать для точки только одно число. Это происходит, когда забывают, что после полного оборота положение повторяется. К координате точки можно прибавить любое целое кратное 2π, поэтому ответом для всех координат служит t + 2πk, k ∈ Z. Проверьте, спрашивается ли одно значение или весь набор чисел, соответствующих точке.

Начинать отсчёт не от (1; 0). Если выбрать другую начальную точку, получится неверное положение даже при правильном направлении и длине дуги. Причина ошибки — попытка отсчитывать от привычного места или оси без проверки начала. Перед каждым обходом отметьте точку (1; 0), затем задайте направление и только после этого откладывайте дугу.

Связь с другими темами

Перед изучением числовой окружности нужно знать формулу длины окружности, понимать, что такое дуга, и уметь обращаться с числами π в радианной мере. Эти знания объясняют, почему длина полного оборота единичной окружности равна 2π. Позже числовая окружность поможет задавать углы и находить значения синуса и косинуса по положению точки. Та же периодичность, при которой точка повторяется через 2π, используется при решении тригонометрических уравнений.

Что запомнить

• Начальная точка числовой окружности — (1; 0).
• Положительное направление — против часовой стрелки.
• Координата точки равна длине пройденной дуги на единичной окружности с учётом направления.
• Полный оборот соответствует 2π.
• Числа t и t + 2πk задают одну точку при любом целом k.
• Числу π соответствует точка, диаметрально противоположная начальной.