§ 12. Числовая окружность на координатной плоскости

Определения и обозначения

Числовая окружность — единичная окружность, на которой каждому действительному числу сопоставляют точку по длине и направлению обхода. Иными словами, число задаёт, насколько далеко нужно пройти по дуге и в какую сторону. Такое представление позволяет связывать числа с точками плоскости.

Начальная точка — точка окружности с координатами (1; 0), от которой начинают отсчёт чисел. Она лежит на положительной полуоси x, а не в центре окружности. Выбор одной точки начала делает отсчёт однозначным.

Положительное направление обхода — движение против часовой стрелки; движение по часовой стрелке считается отрицательным. Поэтому знак числа указывает направление, а не положение точки справа или слева. Это соглашение позволяет одинаково задавать движение по всей окружности.

Числовая координата точки — число, задающее длину пройденной от начальной точки дуги с учётом направления. Например, знак «−» означает, что дугу проходят по часовой стрелке. По этой координате можно восстановить, где на окружности находится точка.

Как это устроено

Радиус числовой окружности равен 1, потому что тогда длина всей окружности равна 2πr = 2π. При радиусе 1 длина дуги, измеренная в радианах, напрямую задаёт числовую координату. Поэтому число можно откладывать как длину дуги без дополнительного пересчёта на радиус.

Чтобы сопоставить числу точку, начинают от (1; 0) и проходят дугу длины, равной модулю числа. Если число положительное, двигаются против часовой стрелки, а если отрицательное — по часовой. Модуль отвечает за величину пройденного пути, знак — за его направление.

Числа, различающиеся на 2π, задают одну точку, потому что 2π — длина полного оборота единичной окружности. После такого пути движение возвращается к началу, а ещё один оборот снова приводит в ту же точку. Поэтому все координаты одной точки имеют вид t + 2πk, где k — целое число.

Чтобы определить четверть для заданного числа, сравнивают его с последовательными границами π/2, π, 3π/2 и 2π. Эти значения делят окружность на четыре равные дуги, поскольку полный оборот 2π разделён на четыре части. Например, числа между π и 3π/2 соответствуют третьей четверти; само граничное значение лежит на оси, а не внутри четверти.

Все числа, соответствующие одной точке, находят, прибавляя или вычитая целое число полных оборотов. Если известна одна координата t, записывают t + 2πk, k ∈ Z. При ограничении на промежуток подставляют целые значения k и оставляют только те результаты, которые входят в этот промежуток.

Основные числа и соответствующие им точки числовой окружности

Таблица помогает быстро находить точки на осях и ориентироваться при движении по окружности. Между соседними строками проходит четверть оборота. Для чисел за пределами одного оборота сначала можно прибавить или вычесть 2π, не меняя соответствующую точку.

Разбор задач

Задача 1. Отметить на числовой окружности точку, соответствующую числу −π/2.

1. Модуль числа равен π/2, то есть длине четверти окружности.
2. Знак минус указывает на движение по часовой стрелке от точки (1; 0).
3. После четверти оборота по часовой стрелке приходим в нижнюю точку окружности.

Ответ: точка (0; −1).

Задача 2. Определить четверть, в которой находится точка числа 7π/6.

1. Сравним число с границами: π = 6π/6, а 3π/2 = 9π/6.
2. Получаем π < 7π/6 < 3π/2, значит, точка расположена между второй и третьей граничными полуосями.
3. Интервал от π до 3π/2 соответствует третьей четверти.

Ответ: третья четверть.

Задача 3. Найти все числа, соответствующие точке числа 2π/3, и указать среди них числа на отрезке [−2π; 2π].

1. Одна координата точки равна 2π/3, поэтому все координаты имеют вид 2π/3 + 2πk, где k ∈ Z.
2. Для заданного отрезка составим условие: −2π ≤ 2π/3 + 2πk ≤ 2π.
3. Вычитая 2π/3 и деля на 2π, получаем −4/3 ≤ k ≤ 2/3. Подходят целые k = −1 и k = 0.
4. При k = −1 получаем −4π/3, а при k = 0 — 2π/3.

Ответ: все числа имеют вид 2π/3 + 2πk; на отрезке [−2π; 2π] лежат −4π/3 и 2π/3.

Типичные ошибки

Ошибка — начинать отсчёт от точки (0; 0). Центр окружности действительно находится в начале координат, но он не лежит на окружности; начальная точка равна (1; 0). Ошибку допускают, смешивая центр и точку старта. Проверьте, что начальная точка находится на единичном расстоянии от центра.

Ошибка — считать положительным обход по часовой стрелке. Направление задаётся соглашением: положительное движение идёт против часовой стрелки, а отрицательное — по часовой. Путаница часто возникает, если смотреть на окружность с другой стороны рисунка. Проверьте направление на простом примере: от (1; 0) положительное π/2 приводит вверх.

Ошибка — откладывать число как градусную меру или как длину прямого отрезка. Число задаёт длину дуги единичной окружности в радианах, а не расстояние по хорде и не количество градусов. Смешение единиц приводит к неверному положению точки. Для проверки вспомните, что π/2 соответствует четверти оборота, а не 1,57 градуса.

Ошибка — считать, что одной точке соответствует только одно число. После полного оборота точка повторяется, поэтому координаты отличаются на 2πk. Обычно забывают о повторении, рассматривая только первый круг. Проверьте ответ, прибавив 2π: точка должна остаться той же.

Связь с другими темами

Для работы с числовой окружностью нужны координатная плоскость, единичная окружность, формула длины окружности и радианная мера угла. Они объясняют, почему координаты точек заданы парами, а полный оборот соответствует 2π. Если уверенно ориентироваться в этих понятиях, проще переходить от числа к точке и обратно.

Числовая окружность служит наглядной основой для синуса, косинуса и других тригонометрических функций: координаты точки помогают понять их значения и периодичность. Она также используется при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Повторение точек через 2π объясняет, почему решения часто записывают с целым параметром.

Что запомнить

• Радиус числовой окружности равен 1.
• Начальная точка имеет координаты (1; 0).
• Положительное направление — против часовой стрелки.
• Длина полного оборота равна 2π.
• Числа t и t + 2πk задают одну точку при любом целом k.
• Границы четвертей соответствуют числам, кратным π/2.