§ 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс

Определения и обозначения

Синус числа x, обозначаемый sin x, — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу x. Ордината — это вторая координата точки, то есть её положение по вертикали. По синусу можно узнать вертикальную координату точки при любом повороте. Это определение позволяет находить значение функции, даже если число x не связано с прямоугольным треугольником.

Косинус числа x, обозначаемый cos x, — абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Абсцисса — первая координата, показывающая положение точки по горизонтали. Вместе косинус и синус задают координаты точки как (cos x; sin x). Такое описание удобно для определения знаков функций и изучения их изменения при повороте.

Тангенс числа x определяется отношением tg x = sin x / cos x. Он существует только при cos x ≠ 0, то есть при x ≠ π/2 + πk, где k ∈ Z. Тангенс показывает отношение вертикальной координаты к горизонтальной. Условие существования нужно проверять прежде, чем делить или преобразовывать выражение.

Котангенс числа x — отношение ctg x = cos x / sin x. Он существует, когда sin x ≠ 0, то есть при x ≠ πk, где k ∈ Z. Котангенс сравнивает горизонтальную координату с вертикальной. Его определение помогает работать с тригонометрическими выражениями, в которых знаменателем служит синус.

Как это устроено

Число x можно понимать как величину поворота вокруг центра единичной окружности. От начальной точки (1; 0) откладывают угол x: положительное направление идёт против часовой стрелки, отрицательное — по часовой. Полученная точка соответствует числу, а её координаты — cos x и sin x. Один и тот же способ работает для любого действительного числа, поскольку поворот может продолжаться на любое число оборотов.

Радиус единичной окружности равен 1, поэтому для координат её точки выполняется уравнение a² + b² = 1. Подставляя a = cos x и b = sin x, получаем основное тождество sin²x + cos²x = 1. Кроме того, координата точки на окружности не может выходить за пределы от −1 до 1. Отсюда следуют ограничения −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.

Тангенс и котангенс получаются делением координат: tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x. Деление возможно только при ненулевом знаменателе, поэтому у тангенса исключены точки, где косинус равен нулю, а у котангенса — точки, где нулевой синус. Синус равен нулю при x = πk, косинус — при x = π/2 + πk, k ∈ Z. Эти нули сразу дают области определения двух отношений.

Если к x прибавить 2π, получится полный оборот, и точка окружности вернётся на прежнее место. Поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. При прибавлении π обе координаты меняют знак, но их отношение сохраняется, так что tg и ctg имеют период π. Отражение точки относительно осей показывает чётность косинуса и котангенса, а поворот на π — нечётность синуса и тангенса.

График функции строят, нанося для каждого x значение соответствующей координаты или отношения координат. Периодичность позволяет повторять характерный фрагмент графика, а знаки координат по четвертям помогают определить, где функция положительна и отрицательна. Нули — точки пересечения графика с осью x; у тангенса и котангенса вертикальные асимптоты возникают там, где знаменатель обращается в ноль. По графику также видны область определения, промежутки знакопостоянства и повторение значений.

Основные свойства тригонометрических функций

Во всех формулах с k принимается, что k ∈ Z. В строках о знаках указаны открытые промежутки: на их границах функция либо равна нулю, либо не определена. Таблица помогает быстро проверить период, нули и допустимые значения аргумента перед решением задачи.

Разбор задач

Задача 1. По точке единичной окружности с координатами (−√3/2; 1/2) найдите sin x, cos x, tg x и ctg x для соответствующего числа x. Сначала определим каждую координату по её роли в точке, а затем найдём отношения. Перед делением отдельно проверим, что знаменатели не равны нулю.

1. Ордината точки равна 1/2, значит, sin x = 1/2. Абсцисса равна −√3/2, поэтому cos x = −√3/2.
2. Знаменатель cos x не равен нулю, значит, тангенс существует: tg x = (1/2)/(−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
3. Знаменатель sin x тоже ненулевой. Поэтому ctg x = (−√3/2)/(1/2) = −√3.

Ответ: sin x = 1/2, cos x = −√3/2, tg x = −√3/3, ctg x = −√3. Знаки согласуются со второй четвертью: синус положительный, косинус отрицательный, а их отношения отрицательны.

Задача 2. Найдите область определения и период функции y = tg(2x − π/3). Аргумент тангенса нельзя приравнивать к π/2 + πk, поскольку именно в этих точках косинус знаменателя равен нулю. Период ищем отдельно: умножение аргумента на 2 изменяет длину периода.

1. Запишем условие существования: cos(2x − π/3) ≠ 0, то есть 2x − π/3 ≠ π/2 + πk.
2. Решаем неравенство-исключение: 2x ≠ 5π/6 + πk, откуда x ≠ 5π/12 + πk/2. Все остальные действительные x входят в область определения.
3. Для периода T аргумент должен измениться на π: 2T = π, поэтому T = π/2.

Ответ: область определения — все x ∈ R, кроме x = 5π/12 + πk/2, k ∈ Z; наименьший положительный период равен π/2. Проверка периода проста: при увеличении x на π/2 аргумент тангенса увеличивается на π.

Задача 3. Решите sin x = cos x на промежутке [0; 2π]. Нельзя сразу делить на cos x: сначала нужно убедиться, что среди решений нет случая cos x = 0. Если косинус нулевой, синус равен 1 или −1, и исходное равенство не выполняется.

1. При cos x = 0 уравнение sin x = cos x превратилось бы в sin x = 0, что невозможно одновременно с cos x = 0 из тождества sin²x + cos²x = 1. Значит, в решениях cos x ≠ 0.
2. Теперь делим обе части на cos x и получаем tg x = 1. Общие решения этого уравнения: x = π/4 + πk, k ∈ Z.
3. На отрезке [0; 2π] подходят x = π/4 и x = 5π/4. Оба значения лежат в заданных границах.

Ответ: x = π/4; 5π/4. Проверка показывает, что в обеих четвертях синус и косинус имеют одинаковые значения по знаку и модулю.

Типичные ошибки

Записывают tg x при cos x = 0 или ctg x при sin x = 0. Ошибка возникает, когда формулу отношения помнят, а ограничение на знаменатель забывают. Перед вычислением выпишите условие cos x ≠ 0 или sin x ≠ 0 и проверьте найденные значения x. Если знаменатель нулевой, функция в этой точке не существует.

Указывают период тангенса и котангенса 2π. Это происходит из-за привычки переносить период синуса и косинуса на все тригонометрические функции. Подставьте x + π: у синуса и косинуса знаки меняются одновременно, поэтому их отношение остаётся прежним. Значит, достаточно сдвига на π.

Считают, что синус или косинус могут быть больше 1 по модулю. Обычно так смешивают координаты точки единичной окружности с координатами произвольной точки. Проверка через sin²x + cos²x = 1 показывает, что квадрат каждой координаты не превосходит 1. Поэтому значения обеих функций лежат между −1 и 1 включительно.

При решении sin x = cos x делят на cos x, не проверяя его значение. Так можно выполнить деление на ноль, если косинус обращается в ноль. Сначала подставьте cos x = 0 в исходное уравнение и установите, возможно ли это; только затем переходите к tg x = 1. После решения также оставьте лишь корни заданного промежутка.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны понятия угла, радианной меры и единичной окружности: без них нельзя понять, как числу соответствует точка. Координатное определение функций связано с координатами точки, а отношения синуса и косинуса продолжают идею отношений сторон прямоугольного треугольника. Изученные свойства понадобятся при построении графиков и решении тригонометрических уравнений и неравенств. Позже эти функции будут использоваться при изучении производных и анализа периодических процессов.

Что запомнить

• sin x — ордината, а cos x — абсцисса точки единичной окружности.
• sin²x + cos²x = 1.
• tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0.
• Период sin x и cos x равен 2π; период tg x и ctg x равен π.
• Синус и тангенс — нечётные функции; косинус и котангенс — чётные.