"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Тригонометрические функции связывают действительное число с координатами точки на единичной окружности. Число x задаёт поворот на угол x радиан, а синус и косинус показывают ординату и абсциссу полученной точки. Тангенс и котангенс выражаются через отношение этих координат и потому существуют не при каждом x. Зная определения, область определения и периоды функций, можно вычислять их значения для любых числовых аргументов и исследовать графики.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синусом числового аргумента x называют ординату точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол x радиан; обозначают sin x. Ордината — это вторая координата точки. Такое определение позволяет находить синус не только для острых углов, но и для любого действительного числа.
Косинусом числового аргумента x называют абсциссу соответствующей точки единичной окружности; обозначают cos x. Абсцисса — первая координата точки. Вместе с синусом она описывает положение точки на окружности и помогает перейти от аргумента к координатам.
Тангенс числового аргумента определяется отношением tg x = sin x/cos x при условии cos x ≠ 0. Деление на ноль невозможно, поэтому tg x существует не при всех x: исключаются x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Тангенс удобно находить, когда уже известны синус и косинус.
Котангенс числового аргумента определяется отношением ctg x = cos x/sin x при sin x ≠ 0. Знаменатель не должен быть равен нулю, значит, исключаются x = πk, где k ∈ Z. Эта функция использует те же координаты окружности, но в обратном порядке отношения.
Начнём с точки (1; 0) на единичной окружности. Число x понимают как радианную меру поворота вокруг центра: положительное направление идёт против часовой стрелки, отрицательное — по часовой. После поворота радиус-вектор указывает на конкретную точку, поэтому каждому действительному числу соответствует положение на окружности. Если поворот превышает полный оборот, он всё равно задаёт точку, просто часть пути повторяется.
У окружности радиус равен единице, поэтому координаты её точки описывают положение без дополнительного множителя. По определению косинус равен абсциссе точки, а синус — ординате. Каждая координата не может быть меньше −1 или больше 1: точка не выходит за границы единичной окружности. Отсюда для любого x следуют неравенства −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.
Тангенс и котангенс получают из координат делением: tg x = sin x/cos x, ctg x = cos x/sin x. Если знаменатель равен нулю, соответствующее отношение не имеет значения. Косинус равен нулю в точках с абсциссой 0, то есть при x = π/2 + πk; синус равен нулю в точках с ординатой 0, то есть при x = πk. Поэтому у тангенса и котангенса есть исключённые значения аргумента.
Полный оборот равен 2π радиан и возвращает точку в исходное положение. Значит, при прибавлении 2π координаты не меняются: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Это и означает периодичность с периодом 2π. Меньший положительный поворот не возвращает каждую точку на прежнее место, поэтому наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π.
Поворот на π переносит точку в противоположное положение, так что и синус, и косинус одновременно меняют знак. В их отношениях эти два изменения знака сокращаются: tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Поэтому тангенс и котангенс повторяются через π, а их наименьший положительный период равен π. Область определения при этом остаётся ограниченной: для тангенса исключены нули косинуса, для котангенса — нули синуса.
| Свойство | y = sin x | y = cos x | y = tg x | y = ctg x |
|---|---|---|---|---|
| Область определения | R | R | R, кроме π/2 + πk | R, кроме πk |
| Множество значений | [−1; 1] | [−1; 1] | R | R |
| Наименьший положительный период | 2π | 2π | π | π |
| Чётность или нечётность | Нечётная | Чётная | Нечётная | Нечётная |
| Нули функции | πk | π/2 + πk | πk | π/2 + πk |
| Где функция не определена | Нигде | Нигде | π/2 + πk | πk |
В формулах таблицы k — любое целое число, то есть k ∈ Z. Сначала проверяйте область определения: она подскажет, допустимо ли подставлять выбранный аргумент. Затем используйте период, чтобы при необходимости заменить аргумент на более простой, и обращайтесь к строке с нулями или множеством значений для проверки результата.
Условие: точка единичной окружности имеет координаты (3/5; 4/5). Нужно указать синус и косинус соответствующего аргумента. Здесь не требуется искать сам аргумент: координатное определение сразу связывает его тригонометрические функции с координатами точки.
Ответ: sin x = 4/5, cos x = 3/5. Проверить порядок можно по координатам: синус соответствует второй, а не первой координате. Точка действительно лежит на единичной окружности, поскольку (3/5)² + (4/5)² = 1.
Условие: sin x = 3/5 и cos x = 4/5. Требуется найти tg x и ctg x и проверить, определены ли обе функции. Перед делением проверяем знаменатели: оба заданных значения не равны нулю, поэтому оба отношения допустимы.
Ответ: tg x = 3/4, ctg x = 4/3; обе функции определены. Результаты взаимно обратны, потому что в одном отношении синус делится на косинус, а в другом косинус — на синус. Такая проверка помогает заметить ошибку в дроби.
Условие: найти sin(13π/6), cos(13π/6), tg(13π/6) и ctg(13π/6). Аргумент больше 2π, поэтому его можно упростить, учитывая период каждой функции. После сокращения остаётся табличный угол π/6.
Ответ: sin(13π/6) = 1/2, cos(13π/6) = √3/2, tg(13π/6) = √3/3, ctg(13π/6) = √3. Здесь сокращение на 2π удобно для всех четырёх функций, хотя наименьший положительный период тангенса и котангенса равен π. При вычислении отношений знаменатели не равны нулю, поэтому оба значения существуют.
Ошибка: считать, что синус и косинус определены только для углов от 0 до 2π. Так думают, потому что для одного полного обхода удобно перечислять точки окружности, но числовой аргумент может быть любым действительным числом. Проверка проста: отрицательное число тоже задаёт поворот, а число больше 2π — несколько оборотов. Значит, область определения sin x и cos x — все действительные числа.
Ошибка: менять местами синус и косинус, принимая первую координату за синус. Путаница возникает из-за того, что обе функции задаются координатами одной точки. Сверяйтесь с названиями осей: абсцисса x — это cos x, ордината y — sin x. Например, для точки (3/5; 4/5) косинус равен 3/5, а синус — 4/5.
Ошибка: считать tg x определённым при cos x = 0 или ctg x при sin x = 0. Причина в том, что забывают проверить знаменатель перед делением. Подставьте значения в определения: tg x = sin x/cos x, ctg x = cos x/sin x. Если знаменатель равен нулю, функция не определена.
Ошибка: при переносе аргумента для тангенса или котангенса использовать только период 2π. Этот перенос допустим, но он не самый короткий и скрывает важное свойство функций. Проверяйте наименьший положительный период в таблице: для tg x и ctg x это π, поэтому аргумент можно сдвигать на πk. Например, 13π/6 можно сократить на 2π или на два периода π.
Для работы с числовым аргументом нужны радианная мера угла, координаты точки на плоскости и единичная окружность: они объясняют, как число задаёт поворот и как из него получить координаты. Табличные значения синуса и косинуса специальных углов позволяют находить тангенс и котангенс через отношения. Эти определения и свойства станут основой для построения графиков, решения тригонометрических уравнений и изучения производных тригонометрических функций.
Почему синус и косинус числового аргумента определены для любого действительного числа?
Любое действительное число можно считать радианной мерой поворота вокруг центра единичной окружности. После такого поворота на окружности всегда есть точка, а её ордината и абсцисса задают sin x и cos x.
Как по точке единичной окружности найти синус и косинус?
Если точка имеет координаты (a; b), то cos x = a, а sin x = b. Иначе говоря, косинус — первая координата, а синус — вторая.
При каких значениях аргумента не существуют тангенс и котангенс?
Тангенс не определён, когда cos x = 0, то есть при x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Котангенс не определён, когда sin x = 0, то есть при x = πk.
Почему у тангенса период π, а у синуса 2π?
После поворота на π точка окружности переходит в противоположную, поэтому синус и косинус меняют знак. Но в отношениях sin x/cos x и cos x/sin x оба знака сокращаются, и значения тангенса и котангенса повторяются. Для синуса и косинуса точка возвращается в исходное положение после 2π.
Чем числовой аргумент тригонометрической функции отличается от угла?
Аргумент — это действительное число, которое подставляют в функцию; его можно интерпретировать как радианную меру угла поворота. Угол — геометрическая величина, а числовой аргумент позволяет рассматривать тригонометрические функции на всей числовой прямой.
§ 14. Тригонометрические функции числового аргумента
