§ 15. Тригонометрические функции углового аргумента

Определения и обозначения

Угловой аргумент — действительное число x, задающее угол в радианах. На единичной окружности ему соответствует поворот от точки (1; 0): положительный — против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. После поворота получаем точку, координаты которой позволяют определить тригонометрические функции для любого x.

Синус углового аргумента — ордината точки единичной окружности, соответствующей x; обозначение — sin x. Косинус — абсцисса этой точки; обозначение — cos x. Координатное описание удобно тем, что позволяет находить значения функций для углов любой величины, а не только для острых.

Тангенс и котангенс определяются как отношения синуса и косинуса: tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x. Тангенс существует при cos x ≠ 0, то есть x ≠ π/2 + πk; котангенс — при sin x ≠ 0, то есть x ≠ πk, где k ∈ Z. Условия нужны, чтобы знаменатель в каждом отношении не был равен нулю.

Как это устроено

Единичная окружность позволяет определить sin x и cos x при любом действительном x: достаточно отложить соответствующий поворот, даже если он отрицательный или больше полного оборота. После поворота точка всё равно окажется на окружности, а её координаты однозначно зададут значения функций. Если прибавить к x полный оборот 2π, точка вернётся на прежнее место. Поэтому расширение понятия угла не требует новых правил для синуса и косинуса.

У точки окружности с координатами (cos x; sin x) сумма квадратов координат равна квадрату радиуса. Радиус единичной окружности равен 1, поэтому cos² x + sin² x = 1. Отсюда следует, что квадрат каждой координаты не больше 1, а значит, −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1. Это объясняет и основное тождество, и ограниченность значений обеих функций.

Тангенс — отношение ординаты к абсциссе, а котангенс — абсциссы к ординате. Когда знаменатель становится нулём, отношение не существует: у tg x это происходит при x = π/2 + πk, у ctg x — при x = πk. Вблизи таких точек значения функции по модулю становятся сколь угодно большими, поэтому на графике появляются вертикальные асимптоты — прямые, к которым ветви графика приближаются, но которых не пересекают в области определения.

При повороте на 2π точка окружности возвращается в исходное положение, поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Для тангенса и котангенса достаточно поворота на π: точка переходит в противоположную, её обе координаты меняют знак, но их отношение остаётся прежним. Значит, периоды этих функций равны π. Повторение значений через период и создаёт повторяющийся рисунок графиков.

Знаки функций определяются знаками координат точки. В верхней половине окружности sin x положителен, в нижней — отрицателен; справа cos x положителен, слева — отрицателен. Тангенс и котангенс положительны, когда координаты одного знака, и отрицательны, когда знаки различаются. Нули синуса и косинуса возникают там, где соответствующая координата точки равна нулю; эти же точки помогают находить пересечения графиков с осью x.

Основные свойства тригонометрических функций углового аргумента

Здесь k — любое целое число, а R — множество действительных чисел. Для тангенса и котангенса промежутки монотонности не включают точки, где функции не определены. Пользуясь таблицей, сначала проверьте область определения, а затем выбирайте сведения о периоде, нулях и знаках для решения задачи.

Разбор задач

Задача 1

Найти sin x, cos x, tg x и ctg x, если x = π/6. Нужно сначала установить координаты соответствующей точки, а затем вычислить отношения координат. Угол π/6 равен 30°, поэтому точка лежит в первой четверти, где обе координаты положительны.

1. Для угла π/6 координаты точки единичной окружности равны (√3/2; 1/2). Первая координата — cos x, вторая — sin x.
2. Следовательно, sin x = 1/2 и cos x = √3/2. Тангенс равен отношению: tg x = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 = √3/3.
3. Котангенс — обратное отношение: ctg x = (√3/2) / (1/2) = √3. Знаменатели не равны нулю, значит, обе функции определены.

Ответ: sin x = 1/2, cos x = √3/2, tg x = √3/3, ctg x = √3.

Задача 2

Определить знаки sin x, cos x, tg x и ctg x, если π/2 < x < π. Сначала важно узнать четверть: заданный промежуток соответствует второй четверти единичной окружности. В ней точка находится слева и выше начала координат, следовательно, её абсцисса отрицательна, а ордината положительна.

1. Поскольку sin x — ордината, получаем sin x > 0. Поскольку cos x — абсцисса, получаем cos x < 0.
2. Тангенс равен отношению положительного синуса к отрицательному косинусу, поэтому tg x < 0.
3. Котангенс — отношение отрицательного косинуса к положительному синусу, поэтому ctg x < 0. Внутри заданного промежутка ни одна из функций tg x и ctg x не сталкивается с нулевым знаменателем.

Ответ: sin x > 0, cos x < 0, tg x < 0, ctg x < 0.

Задача 3

Решить уравнение tg x = 1 на промежутке [−π; 2π]. Тангенс равен 1 при опорном угле π/4, а из-за периода π решения повторяются через π. Поэтому сначала записываем общую формулу корней, а затем отбираем значения, попадающие в заданные границы.

1. Так как tg(π/4) = 1, общее решение имеет вид x = π/4 + πk, где k ∈ Z.
2. Подставим целые k и проверим неравенство −π ≤ π/4 + πk ≤ 2π. После деления на π получаем −1 ≤ 1/4 + k ≤ 2, откуда −5/4 ≤ k ≤ 7/4.
3. Подходящие целые k: −1, 0, 1. Тогда x = −3π/4, π/4 и 5π/4; каждый корень лежит на заданном промежутке.

Ответ: −3π/4, π/4, 5π/4.

Типичные ошибки

• Считать, что синус и косинус существуют только для углов от 0 до π/2. Такое представление возникает из первых задач на острые углы, но единичная окружность задаёт значения для любого действительного аргумента. Проверьте себя: можно ли отложить отрицательный поворот или несколько полных оборотов? Если да, точка и её координаты всё равно определены.

• Записывать tg x или ctg x, не проверив знаменатель. Ошибка возникает, когда отношение запоминают как формулу, но забывают, что деление на ноль невозможно. Перед вычислением проверьте: для тангенса cos x ≠ 0, для котангенса sin x ≠ 0.

• Считать период тангенса и котангенса равным 2π. Его иногда переносят с синуса и косинуса, хотя при повороте на π обе координаты меняют знак, и их отношение уже повторяется. Самопроверка проста: используйте tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x.

• Менять местами синус и косинус. Это случается, если забыть, какая координата за что отвечает. На единичной окружности косинус — абсцисса, синус — ордината; проверьте результат и по тождеству sin² x + cos² x = 1.

Связь с другими темами

Для работы с угловым аргументом понадобятся радианная мера угла, единичная окружность и умение читать координаты точки. По четверти окружности определяют знаки синуса и косинуса, а через отношения координат — знаки тангенса и котангенса. Эти знания станут основой для изучения графиков тригонометрических функций, преобразования выражений и решения тригонометрических уравнений. В уравнениях особенно пригодятся периоды функций и общие формулы решений.

Что запомнить

• На единичной окружности cos x — абсцисса, sin x — ордината.
• sin² x + cos² x = 1.
• tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0.
• Периоды синуса и косинуса равны 2π.
• Периоды тангенса и котангенса равны π.