§ 16. Функции y = sin x, y = cos x, их свойства и графики

Определения и обозначения

Синус числа x — это ордината точки единичной окружности, соответствующей углу x; обозначают его sin x. Ордината — вертикальная координата точки, а единичная окружность имеет радиус 1 и центр в начале координат. Такое определение позволяет находить синус не только у острых углов, но и у любого действительного x.

Косинус числа x — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу x; обозначение — cos x. Абсцисса — горизонтальная координата точки. Косинус вместе с синусом указывает положение точки на окружности и помогает учитывать направление и величину поворота.

Функция y = sin x каждому действительному числу x ставит в соответствие его синус, а функция y = cos x — его косинус. Здесь x называют аргументом, а y — значением функции. Такое соответствие позволяет исследовать, как меняется координата точки при непрерывном движении по окружности.

Период функции — наименьшее положительное число T, при сдвиге на которое значения функции повторяются: f(x + T) = f(x) при всех допустимых x. Для синуса и косинуса период равен 2π. Знание периода нужно, чтобы строить график по одному отрезку и переносить его на всю числовую прямую.

Как это устроено

Чтобы связать число x с точкой окружности, начинают с точки (1; 0) и поворачивают радиус на угол x. Положительный угол задаёт поворот против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Получившаяся точка имеет координаты (cos x; sin x), поэтому синусом оказывается вертикальная, а косинусом — горизонтальная координата.

У любого действительного числа есть соответствующий поворот, и после него радиус всё равно заканчивается на окружности. Значит, для каждого x существуют обе координаты и обе функции определены на всей числовой прямой. Так как окружность имеет радиус 1, ни абсцисса, ни ордината её точек не могут быть больше 1 или меньше −1.

Если заменить x на −x, точка окружности отражается относительно горизонтальной оси. При отражении абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак: отсюда cos(−x) = cos x и sin(−x) = −sin x. Поэтому косинус называют чётной функцией, а синус — нечётной; соответствующие графики симметричны относительно оси y и начала координат.

Поворот на 2π — это полный оборот, после которого радиус возвращается в исходное положение. Координаты точки не меняются, поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Значит, достаточно изучить один оборот, а затем повторять его значения; меньший положительный сдвиг не возвращает каждую точку окружности в прежнее положение.

Для построения графиков берут значения через четверть оборота: 0, π/2, π, 3π/2 и 2π. Синус в этих точках равен 0, 1, 0, −1, 0, а косинус — 1, 0, −1, 0, 1. Между точками значения меняются плавно, потому что при небольшом изменении угла точка окружности перемещается непрерывно; график не следует заменять ломаной.

Из ключевых значений и повторения через 2π видны нули и знаки функций. Синус положителен на (2πk; π + 2πk), а косинус — на (−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk), где k ∈ Z; на соседних участках соответствующие функции отрицательны. Максимумы равны 1, минимумы −1: для синуса это достигается при x = π/2 + 2πk и x = 3π/2 + 2πk, для косинуса — при x = 2πk и x = π + 2πk.

Свойства функций y = sin x и y = cos x

В формулах таблицы k — любое целое число, поэтому свойства повторяются на всей числовой прямой. Для конкретной задачи сначала найдите подходящий промежуток или нужное значение на одном обороте, а затем используйте период. Квадратные скобки включают граничные точки, круглые — не включают.

Разбор задач

Постройте график y = sin x на промежутке [−2π; 2π], отметив значения в ключевых точках.

1. Ключевые точки соседствуют через π/2, поэтому отмечаем x = −2π, −3π/2, −π, −π/2, 0, π/2, π, 3π/2, 2π. На этом отрезке помещаются два полных периода, так как его длина равна 4π.
2. Подставляем значения в синус: получаем соответственно 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0. Эти значения также следуют из движения точки по единичной окружности через четверть оборота.
3. Наносим точки с координатами (x; sin x) на координатную плоскость. Соединяем их плавной волной: между соседними нулём и максимумом синус возрастает, а между максимумом и следующим нулём убывает.
4. Проверяем периодичность: участок от −2π до 0 повторяет участок от 0 до 2π. График проходит через начало координат и нигде не выходит за полосы y = −1 и y = 1.

Ответ: график проходит через указанные девять точек и плавно повторяет форму синусоиды на всём отрезке [−2π; 2π].

Найдите все x из [−2π; 2π], для которых cos x = −1/2.

1. Сначала рассматриваем один оборот [0; 2π]. Косинус — абсцисса точки окружности, поэтому значение −1/2 получается в двух точках: при x = 2π/3 и x = 4π/3.
2. Добавляем к этим значениям целые периоды: x = 2π/3 + 2πk или x = 4π/3 + 2πk, где k ∈ Z. Это записывает решения на всей числовой прямой.
3. Оставляем только числа из заданного отрезка. При k = 0 получаем 2π/3 и 4π/3; при k = −1 — −4π/3 и −2π/3. Другие целые k дают числа за пределами [−2π; 2π].

Ответ: x = −4π/3, −2π/3, 2π/3, 4π/3.

Решите неравенство sin x ≥ 1/2 и запишите ответ на всей числовой прямой.

1. На одном периоде [0; 2π] синус равен 1/2 в точках π/6 и 5π/6. Между ними график расположен выше прямой y = 1/2, поэтому на этом периоде подходят все x от π/6 до 5π/6.
2. Концы промежутка включаются, потому что в условии стоит знак ≥, а в обеих граничных точках sin x = 1/2. Следовательно, решение на одном периоде — [π/6; 5π/6].
3. Синус повторяет значения через 2π, поэтому к обоим концам промежутка нужно прибавить 2πk. Это переносит найденный участок на каждый период и охватывает все решения.

Ответ: x ∈ [π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk], k ∈ Z.

Типичные ошибки

Ошибка — считать периодом π, потому что на графике через такое расстояние снова встречаются знакомые значения. Но при сдвиге на π синус и косинус меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. Проверка простая: сравните значения при x = 0 и x = π — совпадения нет.

Иногда чётность функций путают и приписывают синусу симметрию косинуса. Причина в том, что обе функции связаны с одной окружностью, но отражение относительно оси x сохраняет абсциссу и меняет ординату. Подставьте −x: если получается cos(−x) = cos x, функция чётная, а sin(−x) = −sin x показывает нечётность синуса.

Нельзя указывать значения синуса или косинуса вне отрезка [−1; 1]. Такое случается, если забыть, что значения — координаты точки единичной окружности, и механически вычислять или читать график. Проверьте результат геометрически: ни одна координата точки на окружности радиуса 1 не может по модулю превосходить 1.

Ещё одна ошибка — строить график по нескольким точкам и соединять их отрезками или не учитывать повторение. Отдельные отметки не показывают, как функция меняется между ними, а без периода легко потерять часть графика. Нанесите все точки через π/2 на одном периоде, соедините плавной кривой и проверьте, что рисунок повторяется через 2π.

Связь с другими темами

Для работы с синусом и косинусом нужно уметь пользоваться единичной окружностью и измерять углы в радианах. Также понадобятся значения основных углов, например 0, π/2, π и 3π/2. По координатам окружности можно восстановить значения функций и определить их знаки.

Периодичность, нули и графики помогают решать тригонометрические уравнения и неравенства. Графический способ позволяет увидеть, где функция принимает заданное значение или лежит выше нужного уровня. Запись общего решения учитывает повторение значений через период.

Синус и косинус служат основой для изучения преобразований графиков и поведения других тригонометрических функций. Сдвиг, растяжение или изменение знака меняют положение и вид графика, а известная форма синусоиды помогает предсказать результат. Понимание периода позволяет определить, как часто повторяются значения и характерные точки.

Что запомнить

• Область определения sin x и cos x — все действительные числа.
• Значения обеих функций принадлежат отрезку [−1; 1].
• Наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π.
• Синус — нечётная функция, косинус — чётная.
• sin x = 0 при x = πk, где k — целое число.
• cos x = 0 при x = π/2 + πk, где k — целое число.

Как это устроено