§ 17. Построение графика функции y = m?f(x)

Определения и обозначения

Преобразование графика при умножении функции на число означает, что для каждой точки исходного графика ордината умножается на m: (x, y) переходит в (x, my). Абсцисса x остаётся прежней, поэтому точки нового графика располагаются над теми же значениями аргумента. Это правило записывают так: из y = f(x) получают y = mf(x). Оно позволяет строить новый график по уже известному.

Растяжение графика вдоль оси Oy происходит, когда |m| > 1: модуль каждой ординаты становится больше, и точки удаляются от оси Ox. Например, точка с ординатой 2 при m = 3 переходит на ординату 6. Такое описание помогает понять, почему график становится выше и ниже, хотя его абсциссы не изменяются.

Сжатие графика к оси Ox происходит при 0 < |m| < 1: ординаты уменьшаются по модулю, и точки приближаются к оси Ox. Например, умножение ординаты на ½ уменьшает её расстояние от оси Ox вдвое. По этому признаку легко отличить сжатие от растяжения.

Отражение относительно оси Ox возникает при m < 0, потому что каждая ордината меняет знак: положительная становится отрицательной, а отрицательная — положительной. При этом вертикальный масштаб задаёт число |m|, то есть модуль m. Значит, знак отвечает за направление преобразования, а модуль — за расстояние точек от оси Ox.

Как это устроено

Пусть точка (x, f(x)) лежит на графике y = f(x). По определению новой функции при том же аргументе x её значение равно mf(x), поэтому точка (x, mf(x)) лежит на графике y = mf(x). Абсцисса сохраняется именно потому, что в формуле умножается значение функции, а не её аргумент. Следовательно, каждую выбранную точку можно преобразовать отдельно.

Знак и модуль m действуют по-разному. При положительном m знак ординаты не меняется, поэтому точка остаётся по ту же сторону от Ox; при отрицательном знак меняется и точка оказывается по другую сторону. Если |m| больше единицы, расстояние от Ox увеличивается, а если меньше единицы — уменьшается. Так можно сначала определить отражение, а затем понять масштаб преобразования.

При m = 0 произведение mf(x) равно нулю для всех x, на которых исходная функция определена, поэтому все полученные точки лежат на прямой y = 0. При m = 1 значение функции вообще не меняется, и график совпадает с исходным. Эти два случая полезно проверять отдельно, прежде чем применять правила растяжения или сжатия.

Для построения выбери характерные точки исходного графика: например, вершину, пересечения с осями и точки с известными координатами. У каждой точки оставь абсциссу и умножь ординату на m, а затем отметь результат на координатной плоскости. Соедини полученные точки плавно, сохраняя форму исходной кривой и учитывая, где она проходит относительно оси Ox. Чем точнее выбраны характерные точки, тем надёжнее построение.

Область определения остаётся прежней, потому что допустимые значения x не изменяются. При m ≠ 0 нули также сохраняются: равенство mf(x) = 0 тогда возможно ровно при f(x) = 0. Значения функции, напротив, умножаются на m, а при отрицательном коэффициенте меняют знак. Это позволяет описать некоторые свойства нового графика ещё до его построения.

Как меняется график y = f(x) при переходе к y = mf(x)

Найди строку, соответствующую коэффициенту m, и отдельно проверь его знак и модуль. Столбец с изменением графика подскажет, нужно ли отражение, растяжение или сжатие. Для m = 0 используй отдельное правило: все значения становятся нулевыми.

Разбор задач

Задача 1

По графику y = f(x) построить график y = 2f(x), если на исходном графике отмечены точки (−2, 1), (0, −1) и (3, 2). Здесь коэффициент положителен и больше единицы, значит, абсциссы сохранятся, а ординаты удвоятся. Достаточно преобразовать отмеченные точки, после чего перенести на рисунок соответствующие участки кривой.

1. В точке (−2, 1) умножаем ординату 1 на 2 и получаем (−2, 2).
2. В точке (0, −1) умножаем −1 на 2; новая точка — (0, −2).
3. В точке (3, 2) умножаем 2 на 2; получаем (3, 4). Отмечаем три результата и соединяем их с учётом формы исходного графика.

Ответ: преобразованные точки — (−2, 2), (0, −2), (3, 4). График растянут вдоль оси Oy в два раза, но не отражён, так как m положительно.

Задача 2

Построить график y = 0,5|x| по графику y = |x| и определить его вершину и значения при x = −2 и x = 4. Коэффициент 0,5 положителен и меньше единицы, поэтому каждую ординату исходного графика уменьшаем вдвое. Сначала найдём нужные точки на y = |x|, затем применим к ним это преобразование.

1. Вершина исходного графика — (0, 0). После умножения нулевой ординаты она остаётся нулевой.
2. При x = −2 исходное значение равно |−2| = 2; новое значение — 0,5 · 2 = 1.
3. При x = 4 исходное значение равно |4| = 4; новое значение — 0,5 · 4 = 2. Отметим полученные точки и проведём две лучевые ветви V-образного графика.

Ответ: вершина (0, 0), значение при x = −2 равно 1, при x = 4 равно 2. График сжат к оси Ox в два раза относительно y = |x|.

Задача 3

По графику y = x² построить график y = −2x² и найти его пересечения с прямой y = −8. Отрицательный коэффициент означает отражение параболы относительно Ox, а модуль 2 — вертикальное растяжение в два раза. Для пересечений приравняем значения двух функций: это даст уравнение с одной неизвестной x.

1. Для построения оставим абсциссы точек параболы y = x² и умножим их ординаты на −2. Например, (1, 1) перейдёт в (1, −2), а (−1, 1) — в (−1, −2).
2. Решим уравнение −2x² = −8. Разделим обе части на −2 и получим x² = 4.
3. Из уравнения x² = 4 находим x = −2 или x = 2. При обоих значениях y = −8, поэтому отмечаем две точки пересечения.

Ответ: точки пересечения — (−2, −8) и (2, −8). Парабола направлена ветвями вниз, поскольку исходная парабола отражена относительно Ox.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножать на m абсциссы вместо ординат. Её допускают, потому что в координатах точки записаны и x, и y, но в выражении mf(x) коэффициент умножает значение функции. Проверка проста: при переходе от y = f(x) к y = mf(x) в аргументе x ничего не изменилось, поэтому координата x должна остаться прежней.

При 0 < m < 1 иногда говорят о растяжении, хотя расстояния от точек до Ox уменьшаются. Это путают с тем, что число m положительно, но знак не определяет масштаб. Возьми, например, ординату 4: при умножении на 0,5 она станет 2, то есть точка приблизится к оси, и преобразование является сжатием.

При m < 0 можно учесть только изменение масштаба и забыть об отражении. Тогда точки окажутся не с той стороны от Ox: например, ордината 3 при умножении на −2 становится −6, а не 6. Проверь знак произведения mf(x): он должен быть противоположен знаку исходной ординаты.

Ещё одна ошибка — считать, что при ненулевом m изменяются нули или область определения. Так рассуждают, не отделяя изменение значений функции от допустимых x. Для проверки запиши mf(x) = 0 при m ≠ 0: это равносильно f(x) = 0, а аргумент x в формуле остаётся тем же, поэтому область определения также сохраняется.

Связь с другими темами

Для применения правила нужно уметь читать график функции, определять координаты точек и узнавать графики основных функций. Эти навыки позволяют выбирать характерные точки и переносить их без вычисления каждой точки графика. Чем лучше ты ориентируешься в исходном графике, тем проще выполнить преобразование.

Вертикальное умножение на коэффициент пригодится при построении парабол и графиков тригонометрических функций. Например, y = −2x² можно получить из y = x², а y = 2sin x — из y = sin x. В обоих случаях преобразуются ординаты, а не аргументы.

Сравни это правило с преобразованием графика при прибавлении числа к функции. При умножении ординаты изменяются во столько-то раз, а при прибавлении к функции числа каждая ордината сдвигается на одну и ту же величину. Различие помогает не путать вертикальное растяжение с переносом графика.

Что запомнить

• Для y = mf(x) абсцисса каждой точки сохраняется.
• Ордината каждой точки умножается на m.
• При |m| > 1 график растягивается вдоль Oy.
• При 0 < |m| < 1 график сжимается к Ox.
• При m < 0 график отражается относительно Ox.
• При m ≠ 0 область определения и нули сохраняются.