"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
График функции y = f(kx) строят по графику y = f(x), меняя абсциссы его точек, но сохраняя ординаты. Абсциссу каждой точки нужно разделить на k: при |k| > 1 график сжимается к оси Oy, при 0 < |k| < 1 растягивается, а отрицательный k добавляет отражение относительно Oy. Это правило помогает быстро строить графики, находить их область определения и видеть, как меняются тригонометрические функции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция вида y = f(kx) получается из функции y = f(x), если заменить аргумент x на kx; здесь k — ненулевое число. Например, из y = sin x при k = 2 получается y = sin(2x). Такая запись позволяет строить новый график на основе уже известного, не вычисляя заново множество значений.
Коэффициент k задаёт горизонтальное изменение графика: его модуль влияет на расстояния абсцисс от оси Oy, а знак — на их направление. Если |k| больше 1, точки приближаются к Oy; если |k| меньше 1, удаляются. Отрицательное k меняет также расположение точек слева и справа от оси.
Преобразование графика по оси Ox означает изменение абсцисс при сохранении ординат. Точка (a; f(a)) графика y = f(x) при переходе к y = f(kx) становится точкой (a/k; f(a)), если k ≠ 0. Это соответствие нужно, чтобы правильно переносить характерные точки, не меняя значения функции.
Область определения функции y = f(kx) состоит из тех x, для которых выражение kx допустимо как аргумент f. Если D(f) — область определения исходной функции, то требуется условие kx ∈ D(f). Поэтому новая область определения не всегда совпадает с исходной: её находят, решая это условие относительно x.
Пусть на исходном графике выбрана точка с абсциссой a, поэтому значение функции в ней равно f(a). Чтобы у новой функции получить ту же ординату, нужно подставить такой x, чтобы её аргумент совпал с a: kx = a. При k ≠ 0 отсюда x = a/k, значит, соответствующая точка имеет координаты (a/k; f(a)). Именно поэтому делят абсциссу на k, а не умножают её.
Когда |k| > 1, деление на k уменьшает модуль каждой абсциссы: например, точка с x = 6 при k = 3 переходит на x = 2. Расстояния от оси Oy становятся меньше, поэтому график сжимается к этой оси. Если 0 < |k| < 1, деление на такое число увеличивает модуль абсциссы, точки отходят от Oy и график растягивается.
При k < 0 новые абсциссы имеют знак, противоположный исходным, потому что a/k меняет знак. Точки справа от Oy переходят в соответствующие точки слева, а точки слева — вправо; это и есть отражение относительно Oy. При этом расстояния от оси определяются модулем k: отрицательный знак отвечает за отражение, а |k| — за сжатие или растяжение.
Для построения сначала отметьте на графике y = f(x) характерные точки: например, вершины, пересечения с осями или точки из заданной таблицы. Для каждой точки (a; b) вычислите новую абсциссу a/k и оставьте ординату b прежней. Затем нанесите новые точки и соедините их так, чтобы сохранить соответствующую форму исходного графика; для ломаной достаточно соединить точки отрезками.
Область определения выводят из требования kx ∈ D(f), потому что новая функция применяет f не к x, а к kx. Например, если исходная функция определена при t ≥ 0, то для y = f(2x) нужно 2x ≥ 0, то есть x ≥ 0. При k = 0 правило деления на k неприменимо: выражение становится y = f(0), если f(0) существует, и задаёт постоянную функцию на всей числовой прямой.
В таблице собраны изменения абсцисс для разных значений k; во всех случаях ординаты точек сохраняются. Сначала определите знак k, затем его модуль: знак показывает, нужно ли отражение, а модуль — сжатие или растяжение. Для каждой точки исходного графика используйте правило x → x/k.
| Условие | Изменение абсцисс | Преобразование графика | Ординаты точек |
|---|---|---|---|
| k > 1 | Делятся на k, модуль уменьшается | Сжатие к оси Oy в k раз | Не меняются |
| 0 < k < 1 | Делятся на k, модуль увеличивается | Растяжение от оси Oy в 1/k раз | Не меняются |
| k < −1 | Делятся на отрицательное k, модуль уменьшается, знак меняется | Отражение относительно Oy и сжатие в |k| раз | Не меняются |
| −1 < k < 0 | Делятся на отрицательное k, модуль увеличивается, знак меняется | Отражение относительно Oy и растяжение в 1/|k| раз | Не меняются |
| k = −1 | Меняют знак | Отражение относительно Oy | Не меняются |
Нужно понять, как меняются характерные точки синусоиды, и проверить, что преобразование согласуется с формулой. Здесь f(x) = sin x, а k = 2, поэтому ординаты сохраняются, а абсциссы делятся на 2. Удобно взять точки одного периода исходной синусоиды.
Ответ: график y = sin(2x) получается сжатием графика y = sin x к оси Oy в 2 раза; указанные точки задают один его период. Значения функции остаются в пределах от −1 до 1. Повторяя волну через π, получаем весь график.
Сначала представим выражение в виде f(2x), выбрав f(t) = |t + 1|. График исходной функции y = |x + 1| — V-образная линия с вершиной в точке (−1; 0). Теперь применим правило переноса точек, а затем отдельно проверим результат по исходной формуле.
Ответ: вершина графика y = |2x + 2| находится в (−1; 0), область определения — все действительные числа, область значений — [0; +∞). Эта задача показывает, почему перед применением правила важно точно выделить аргумент: исходное выражение не имеет вид f(2x) для f(x) = |x + 1|. График можно получить из y = |x + 1| умножением ординат на 2.
Даны точки (−4; 1), (0; −2), (2; 3), а в новой функции аргумент равен −x/2. Здесь k = −1/2, поэтому для каждой исходной абсциссы a решаем −x/2 = a. Уравнение даёт x = −2a: абсциссу нужно удвоить и изменить её знак.
Ответ: соответствующие точки нового графика — (8; 1), (0; −2), (−4; 3). Так как |k| = 1/2, график растягивается от оси Oy в 2 раза, а отрицательный знак добавляет отражение относительно Oy. Если исходные точки соединялись отрезками или гладкой линией, форму между ними переносят тем же правилом.
Первая ошибка — умножить абсциссу точки на k вместо деления на k. Её допускают, смешивая число внутри аргумента с координатой точки; например, для y = f(2x) точка с исходным x = 4 должна перейти на x = 2, а не на 8. Проверка простая: подставьте новую абсциссу в аргумент, и он должен стать равен старому значению a.
Вторая ошибка — считать, что при |k| > 1 график растягивается, а при 0 < |k| < 1 сжимается. Такое впечатление возникает из-за числа возле x, но координаты меняются обратным образом: их делят на k. Проверьте точку с ненулевой абсциссой: при k = 2 расстояние от Oy должно уменьшиться вдвое.
Третья ошибка — менять знак ординат при отрицательном k. Ученик может спутать отражение относительно Oy с отражением относительно Ox, однако здесь меняется аргумент, то есть абсцисса, а значение функции сохраняется. Для самопроверки запишите переход (a; f(a)) → (a/k; f(a)): вторая координата в нём не меняется.
Четвёртая ошибка — без проверки оставлять область определения исходной функции. Это неверно, потому что теперь в f подставляют kx, и допустимость нужно проверять именно для этого выражения. Найдите D(f), запишите kx ∈ D(f) и решите полученное неравенство; так вы учтёте ограничения новой функции.
Для работы с преобразованием нужно уметь читать график, находить координаты точек и определять область определения функции. Правило y = f(kx) опирается на знакомые преобразования графиков: сжатие, растяжение и отражение относительно оси Oy. Оно особенно полезно для построения тригонометрических графиков: например, замена x на 2x у синуса уменьшает его период вдвое. Тот же подход применяется к другим функциям, если их график или характерные точки уже известны.
Почему при y = f(2x) график сжимается, а не растягивается?
Чтобы получить прежнее значение f(a), аргумент новой функции должен удовлетворять равенству 2x = a. Поэтому новая абсцисса равна a/2, и точки оказываются ближе к оси Oy. Значит, график сжимается по горизонтали в 2 раза.
Как найти новые координаты точки исходного графика?
Если исходная точка имеет координаты (a; f(a)), то для графика y = f(kx) нужно решить kx = a. Получаем новую точку (a/k; f(a)): абсцисса делится на k, а ордината сохраняется.
Что меняется на графике, если коэффициент k отрицательный?
Отрицательный знак k меняет знак новых абсцисс, поэтому график дополнительно отражается относительно оси Oy. Ординаты остаются прежними. Сжатие или растяжение по горизонтали зависит от модуля |k|.
Как определить область определения функции y = f(kx)?
Нужно потребовать, чтобы аргумент исходной функции kx принадлежал её области определения D(f). Иными словами, D(y = f(kx)) состоит из таких x, для которых kx ∈ D(f).
Что происходит с графиком при k = 0?
Тогда y = f(0) не зависит от x, поэтому функция постоянна, если значение f(0) определено. Её график — горизонтальная прямая y = f(0), а область определения этой постоянной функции — все действительные числа.
§ 18. Построение графика функции y = f(k?x)
