§ 20. Функции y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики

Определения и обозначения

Тангенсом числа x называют отношение синуса этого числа к его косинусу: tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0. На единичной окружности синус — ордината точки, а косинус — её абсцисса, поэтому тангенс равен отношению ординаты к абсциссе. Такое определение позволяет находить тангенс по известным значениям синуса и косинуса.

Функция y = tg x каждому допустимому значению x ставит в соответствие тангенс этого числа. Допустимым называют аргумент, при котором выражение имеет смысл, то есть знаменатель cos x не равен нулю. Функция описывает, как меняется тангенс при изменении угла.

Котангенсом числа x называют отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0. Здесь на единичной окружности абсцисса точки делится на её ординату. Определение помогает вычислять котангенс через значения косинуса и синуса.

Функция y = ctg x каждому x, для которого sin x ≠ 0, сопоставляет значение ctg x. Иными словами, котангенс задан не для всех действительных чисел: при нулевом знаменателе деление невозможно. Это условие нужно учитывать и при построении графика, и при решении уравнений.

Как это устроено

Область определения каждой функции получается непосредственно из её дробной записи: знаменатель не может быть равен нулю. Косинус равен нулю при x = π/2 + kπ, поэтому эти точки исключают для тангенса. Синус равен нулю при x = kπ, поэтому они исключены для котангенса; здесь и далее k ∈ Z.

Обе функции могут принимать любые действительные значения. Например, при подходящем угле отношение синуса к косинусу может дать любое число, поскольку на каждом промежутке между соседними асимптотами тангенс проходит все значения от −∞ до +∞. Котангенс так же проходит весь числовой промежуток, но в обратном направлении. Нули дроби возникают, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: отсюда tg x = 0 при x = kπ, а ctg x = 0 при x = π/2 + kπ.

Период обеих функций равен π, потому что при прибавлении π синус и косинус меняют знак: sin(x + π) = −sin x, cos(x + π) = −cos x. В их отношении два минуса сокращаются, поэтому tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Значит, каждый график повторяется через π, хотя отдельные участки не определены в точках разрыва.

Синус — нечётная функция, а косинус — чётная: sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x. Поэтому tg(−x) = −tg x; для котангенса получается такое же равенство ctg(−x) = −ctg x. Графики нечётных функций симметричны относительно начала координат: если точка (x; y) принадлежит графику, то и точка (−x; −y) ему принадлежит.

На каждом промежутке между соседними вертикальными асимптотами тангенс непрерывно возрастает от −∞ до +∞, а котангенс убывает от +∞ до −∞. Асимптота — прямая, к которой график неограниченно приближается; здесь это вертикальные прямые x = π/2 + kπ для tg x и x = kπ для ctg x. Увидеть направление ветвей помогает поведение дробей при приближении к точкам, где знаменатель стремится к нулю.

Свойства функций y = tg x и y = ctg x

В таблице k — любое целое число, поэтому указанные промежутки повторяются по всей числовой прямой. Для построения графика сначала отметьте нули и асимптоты, затем нанесите направление ветвей и используйте период π. При решении задачи проверьте, что аргумент не попал в исключённые точки.

Разбор задач

Область определения функции y = tg(2x)

Нужно найти все x, при которых тангенс аргумента 2x существует. Для этого исключим значения, где косинус знаменателя равен нулю. Затем решим полученное уравнение относительно x.

1. Запишем условие: cos(2x) ≠ 0.
2. Нули косинуса имеют вид 2x = π/2 + kπ, где k ∈ Z.
3. Разделим равенство на 2: x = π/4 + kπ/2. Именно эти значения нужно исключить.

Ответ: область определения — все действительные x, кроме x = π/4 + kπ/2, k ∈ Z. Проверка проста: подстановка любого исключённого значения делает cos(2x) равным нулю.

Решение уравнения tg x = 1 на [0; 2π]

Сначала найдём значение угла, при котором тангенс равен единице, а затем учтём период функции. Из-за периода решения повторяются через π. В конце оставим только те корни, которые попадают в заданный промежуток.

1. Известно, что tg(π/4) = 1.
2. Общее решение: x = π/4 + kπ, k ∈ Z.
3. На отрезке [0; 2π] подходят k = 0 и k = 1: получаем π/4 и 5π/4. При k = −1 значение меньше нуля, а при k = 2 оно больше 2π.

Ответ: x = π/4; 5π/4. Оба значения входят в заданный отрезок, и тангенс каждого из них равен единице.

График функции y = ctg(x − π/4)

Выражение x − π/4 означает сдвиг графика y = ctg x вправо на π/4. Чтобы не перепутать точки, перенесём на это расстояние и нули, и вертикальные асимптоты исходного графика. Для контроля можно найти их непосредственно из уравнений.

1. У исходной функции нули при x = π/2 + kπ, асимптоты — при x = kπ.
2. После сдвига вправо на π/4 нули становятся x = 3π/4 + kπ, а асимптоты — x = π/4 + kπ.
3. Между соседними асимптотами ветви котангенса убывают от +∞ к −∞. График повторяется через π.

Ответ: график y = ctg x, сдвинутый вправо на π/4; нули x = 3π/4 + kπ, вертикальные асимптоты x = π/4 + kπ, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Ошибка: указывать все действительные числа в области определения тангенса. Её допускают, если смотрят только на числитель и забывают, что деление на ноль невозможно. Проверка: при x = π/2 + kπ косинус равен нулю, поэтому такие значения обязательно нужно исключить.

Ошибка: считать область определения котангенса всей числовой прямой. Причина та же — не проверяют знаменатель sin x. Подставьте x = kπ: синус обращается в ноль, значит, котангенс там не существует.

Ошибка: считать периодом тангенса или котангенса 2π. Это число тоже является периодом, но не наименьшим: при сдвиге на π синус и косинус меняют знак одновременно, и отношение уже повторяется. Чтобы проверить период, сравните значения функции при x и x + π.

Ошибка: рисовать тангенс убывающим, а котангенс возрастающим. Путают направления ветвей, если ориентируются лишь на вид отдельных частей графика. Проверьте их поведение между соседними асимптотами: tg x возрастает от −∞ к +∞, а ctg x убывает от +∞ к −∞.

Связь с другими темами

Для работы с тангенсом и котангенсом нужны единичная окружность, значения и знаки синуса и косинуса, формулы приведения и периодичность тригонометрических функций. Эти знания помогают находить допустимые значения аргумента, нули и знаки функций. Графики тангенса и котангенса используются при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Они также подготавливают к изучению обратных тригонометрических функций.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0.
• Период обеих функций равен π.
• Обе функции нечётны и принимают все действительные значения.
• Нули tg x: x = kπ; нули ctg x: x = π/2 + kπ.
• Тангенс возрастает, а котангенс убывает на каждом промежутке непрерывности.