§ 21. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Определения и обозначения

Арксинус числа a — это угол y из отрезка [−π/2; π/2], для которого sin y = a; обозначают его arcsin a. Арксинус определён, только если a ∈ [−1; 1], потому что синус не выходит за эти границы. Такое обозначение позволяет по значению синуса однозначно выбрать угол.

Арккосинус числа a — угол y из отрезка [0; π], для которого cos y = a; запись — arccos a. Допустимы только a ∈ [−1; 1], так как косинус принимает значения именно в этих пределах. Выбранный промежуток указывает, какой из возможных углов считать ответом.

Арктангенс числа a — угол y из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a: tg y = a. Записывают arctg a; он определён при любом действительном a. По этой функции можно восстановить угол по его тангенсу, не выбирая между периодически повторяющимися углами.

Арккотангенс числа a — угол y из интервала (0; π), для которого ctg y = a; обозначение — arcctg a. Он существует для любого действительного a, поскольку котангенс на выбранном интервале принимает все действительные значения. Этот выбор задаёт единственный угол вместо целого набора углов с одинаковым котангенсом.

Как это устроено

Синус и косинус периодичны, поэтому разные углы могут иметь одно и то же значение: например, синус повторяет значения через 2π. Обратная функция должна каждому входному числу сопоставлять только один результат, иначе это не будет функцией. Поэтому для синуса выбирают [−π/2; π/2], где он строго возрастает, а для косинуса — [0; π], где он строго убывает; на этих промежутках соответствия однозначны.

Если sin y = x и y выбран из [−π/2; π/2], равенство записывают как y = arcsin x. По тому же правилу cos y = x превращается в y = arccos x при y ∈ [0; π]. Равенства tg y = x и ctg y = x дают y = arctg x и y = arcctg x, если выбрать y из (−π/2; π/2) и (0; π) соответственно. Эти обозначения говорят не о делении, а о восстановлении угла по значению функции.

Область определения обратной функции — это множество чисел, которые может принимать исходная функция на выбранном промежутке. Поэтому у arcsin и arccos область определения [−1; 1], а у arctg и arcctg — все действительные числа. Множество значений, наоборот, совпадает с промежутком, который выбрали для угла: у arcsin это [−π/2; π/2], у arccos — [0; π], у arctg — (−π/2; π/2), у arcctg — (0; π).

У графиков взаимно обратных функций координаты каждой точки меняются местами: если исходный график проходит через (a; b), обратный проходит через (b; a). Геометрически это отражение относительно прямой y = x. Для тригонометрических функций отражают не весь периодический график, а только его часть на выбранном промежутке: именно там исходная функция обратима. Это помогает понять, почему графики обратных функций имеют другие области определения и значения.

Монотонность обратной функции сохраняется, если исходная возрастает, и меняется на противоположную, если исходная убывает. Поэтому arcsin и arctg возрастают, а arccos и arcctg убывают. По симметрии графика arcsin и arctg нечётные, тогда как arccos и arcctg не являются ни чётными, ни нечётными. Значения и поведение у границ также читаются по графикам: arcsin(−1) = −π/2, arcsin(1) = π/2, arccos(−1) = π, arccos(1) = 0, а у arctg и arcctg граничные значения достигаются лишь в пределе.

Обратные тригонометрические функции: определения и свойства

В таблице сначала проверьте область определения: она показывает, можно ли подставить заданное число. Затем по множеству значений определите допустимый угол, а по монотонности и чётности — как меняется функция. Для арктангенса и арккотангенса границы множества значений не достигаются.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить arcsin(1/2), arccos(−1/2), arctg(1) и arcctg(1). Ищем углы с заданными значениями функций, но не забываем о промежутках, закреплённых определениями. Проверка промежутка нужна, потому что у тригонометрических уравнений обычно есть несколько угловых решений.

1. Синус равен 1/2 при угле π/6; π/6 принадлежит [−π/2; π/2], значит, arcsin(1/2) = π/6.
2. Косинус равен −1/2 при угле 2π/3; он лежит в [0; π], поэтому arccos(−1/2) = 2π/3.
3. Тангенс равен 1 при угле π/4, который входит в (−π/2; π/2); следовательно, arctg(1) = π/4.
4. Котангенс равен 1 при угле π/4; он принадлежит (0; π), значит, arcctg(1) = π/4.

Ответ: π/6, 2π/3, π/4, π/4. Каждый результат — не просто угол с нужным значением функции, а единственный такой угол в заданном для обратной функции промежутке. Если найденный угол вне этого промежутка, нужно выбрать другой угол с тем же значением.

Задача 2. Упростить sin(arcsin x), cos(arccos x) и arcsin(sin(5π/6)). Первые две записи составлены из функции и обратной к ней, поэтому аргумент возвращается без изменения при соблюдении области определения. В третьей записи угол под синусом не входит в промежуток значений арксинуса, поэтому напрямую сократить функции нельзя.

1. Для x ∈ [−1; 1] угол arcsin x определён, а sin(arcsin x) = x.
2. Для x ∈ [−1; 1] угол arccos x определён, а cos(arccos x) = x.
3. Поскольку 5π/6 не принадлежит [−π/2; π/2], используем значение синуса: sin(5π/6) = 1/2. Тогда arcsin(1/2) = π/6, так как π/6 лежит в промежутке значений арксинуса.

Ответ: x, x, π/6; в первых двух равенствах требуется x ∈ [−1; 1]. В третьем случае ответ не 5π/6, так как арксинус всегда возвращает угол из [−π/2; π/2]. Вычисление показывает, зачем проверять промежуток, прежде чем считать обратные функции взаимно сокращающимися.

Задача 3. Решить уравнение arctg(2x − 1) = π/4 и проверить допустимость найденного значения. Аргумент арктангенса может быть любым действительным числом, однако преобразование уравнения всё равно нужно выполнять с учётом значений arctg. Поскольку π/4 принадлежит (−π/2; π/2), к обеим частям можно применить тангенс.

1. Проверяем правую часть: π/4 ∈ (−π/2; π/2), значит, она может быть значением арктангенса.
2. Применяем тангенс: 2x − 1 = tg(π/4) = 1.
3. Решаем линейное уравнение: 2x = 2, откуда x = 1.
4. Проверяем: аргумент арктангенса при x = 1 равен 1, определение arctg 1 существует, а arctg 1 = π/4.

Ответ: x = 1. Проверка подтверждает, что значение удовлетворяет исходному уравнению и не нарушает никаких ограничений. Для arctg ограничений на аргумент нет, но правая часть уравнения должна принадлежать промежутку значений арктангенса.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что arcsin x определён при любом x. Так происходит, если забыть, что синус принимает значения только от −1 до 1. Перед вычислением проверьте, входит ли аргумент в [−1; 1]; например, arcsin 2 в действительных числах не определён.

Ошибка: полагать, что arcsin(sin x) = x для всех x. Арксинус возвращает угол только из [−π/2; π/2], поэтому вне промежутка равенство может не работать. Для проверки сравните исходный угол с этим отрезком; например, arcsin(sin(5π/6)) = π/6.

Ошибка: искать arccos x в промежутке [−π/2; π/2]. Часто это происходит из-за путаницы с промежутком значений арксинуса. У арккосинуса угол всегда выбирают из [0; π], поэтому, например, arccos(−1/2) = 2π/3, а не отрицательный угол.

Ошибка: менять местами область определения и множество значений обратной функции. При переходе к обратной функции эти множества действительно меняются местами относительно ограниченной исходной функции, и это легко упустить. Сверяйтесь с определением: аргумент арксинуса должен быть в [−1; 1], а его результат — в [−π/2; π/2].

Связь с другими темами

Для работы с обратными тригонометрическими функциями нужно знать значения sin x, cos x, tg x и ctg x, их области определения и промежутки монотонности. Эти сведения помогают выбирать правильный угол и проверять допустимость выражений. Обратные функции применяют при решении тригонометрических уравнений и неравенств, преобразовании выражений и изучении производных. В каждом случае полезно сначала определить область, в которой рассматривается функция.

Что запомнить

• arcsin x определён при x ∈ [−1; 1] и принимает значения из [−π/2; π/2].
• arccos x определён при x ∈ [−1; 1] и принимает значения из [0; π].
• arctg x определён при всех действительных x и принимает значения из (−π/2; π/2).
• arcctg x определён при всех действительных x и принимает значения из (0; π).
• Равенство arcsin(sin x) = x выполняется при x ∈ [−π/2; π/2].
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x на соответствующих промежутках.