"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Простейшие тригонометрические уравнения помогают найти все углы, при которых синус, косинус, тангенс или котангенс равны заданному числу. Из-за периодичности функций корней обычно бесконечно много, и их записывают общими формулами. Для синуса и косинуса сначала проверяют, лежит ли число в пределах от −1 до 1. Решая неравенства, находят подходящие промежутки на окружности или графике, учитывают период функции и проверяют, входят ли граничные точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Простейшее тригонометрическое уравнение — это уравнение вида sin x = a, cos x = a, tg x = a или ctg x = a, где a — число. Решить его означает найти все значения аргумента x, при которых равенство верно. Корней может быть бесконечно много, поэтому их обычно записывают формулой с целым числом k.
Арксинус числа a, обозначаемый arcsin a, — угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Он существует, только если |a| ≤ 1, поскольку синус не принимает значений вне этого диапазона. Главное назначение арксинуса — указать один основной угол, от которого затем получают все корни уравнения.
Арккосинус числа a, обозначаемый arccos a, — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Он определён при |a| ≤ 1, так как косинус также принимает значения только от −1 до 1. Выбранный отрезок помогает однозначно определить основной угол и записать полное семейство решений.
Простейшее тригонометрическое неравенство содержит одну тригонометрическую функцию от x и число, например sin x ≥ a. Его решения обычно представляют промежутками, которые повторяются через период функции. При записи ответа важно решить, входят ли граничные точки и определена ли в них сама функция.
Синус и косинус периодичны: при увеличении x на 2π их значения повторяются. На единичной окружности одному значению синуса обычно соответствуют две точки, поэтому для sin x = a возникают два семейства корней: x = arcsin a + 2πk и x = π − arcsin a + 2πk, где k ∈ Z. Для косинуса точки с одинаковой абсциссой соответствуют углам arccos a и −arccos a, откуда x = ± arccos a + 2πk. Если отдельные семейства совпадают, как при a = 1 или a = −1, лишние повторения не добавляют новых корней.
Синус и косинус — координаты точки на единичной окружности, поэтому ни одна из этих координат не может быть больше 1 или меньше −1. Именно этим объясняется условие |a| ≤ 1 для уравнений sin x = a и cos x = a. При |a| > 1 горизонтальная или вертикальная линия с соответствующей координатой не пересекает окружность, следовательно, корней нет. Перед использованием формул полезно сразу проверить это условие.
Тангенс и котангенс принимают любые действительные значения: отношение координат может быть сколь угодно большим или малым. Прибавление π одновременно меняет знаки синуса и косинуса, но их отношение не меняется, поэтому период tg x равен π; так же устроен период котангенса. Получаем tg x = a: x = arctg a + πk, а ctg x = a: x = arcctg a + πk, где k ∈ Z и arcctg a берут из (0; π). При выборе корней также соблюдают области определения: тангенс не существует при x = π/2 + πk, котангенс — при x = πk.
Чтобы решить неравенство, сначала находят на окружности или графике те углы, при которых функция выше или ниже заданного числа. Например, для синуса рассматривают координату y, для косинуса — координату x; для тангенса удобно использовать его график между соседними точками разрыва. Углы равенства задают границы подходящего участка, а знак неравенства определяет, входят ли они в ответ. Если функция в граничной точке не определена, включать её нельзя независимо от знака.
После нахождения подходящего участка одного периода учитывают, что функция повторяется. К каждому найденному промежутку прибавляют целое число периодов: 2πk для синуса и косинуса или πk для тангенса и котангенса. Перед записью ответа проверяют, что сдвиги не захватили точки разрыва, а круглые и квадратные скобки соответствуют знаку неравенства. Так получают все решения, а не только углы на выбранном отрезке.
В таблице собраны формулы для уравнений и ориентиры для неравенств. Буква k в общих решениях обозначает любое целое число, а период задаёт величину сдвига повторяющихся корней. Сначала проверьте область значений и определения функции, затем применяйте нужную строку.
| Функция | Уравнение | Общее решение уравнения | Период | Как задают решения неравенства |
|---|---|---|---|---|
| Синус | sin x = a; корни существуют при |a| ≤ 1 | x = arcsin a + 2πk или x = π − arcsin a + 2πk, k ∈ Z | 2π | Выбирают дуги по координате y; границы включают при нестрогом неравенстве. |
| Косинус | cos x = a; корни существуют при |a| ≤ 1 | x = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z | 2π | Выбирают дуги по координате x; проверяют включение граничных углов. |
| Тангенс | tg x = a | x = arctg a + πk, k ∈ Z | π | На графике находят участки между точками разрыва; сами точки разрыва исключают. |
| Котангенс | ctg x = a | x = arcctg a + πk, k ∈ Z | π | Выбирают подходящие участки графика и исключают x = πk. |
| Неравенства | f(x) > a, f(x) ≥ a, f(x) < a или f(x) ≤ a | Находят подходящий участок за один период и добавляют сдвиги на kT | T — период функции | Промежутки выбирают по графику или окружности, учитывая знак и область определения. |
На единичной окружности синус — это координата y. Значению 1/2 соответствуют две точки: одна в первой четверти, другая во второй. Поэтому нужно учесть два угла в пределах одного полного оборота и затем все повторения.
Оба семейства нужны, потому что у двух разных точек окружности одинаковая координата y. Сдвиг на 2π добавляет все углы с тем же значением синуса. Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Сначала преобразуем уравнение к стандартному виду, а затем найдём все корни на полном периоде косинуса. Общая формула даст углы для любого x, но в ответ нужно оставить лишь те, что попадают в заданный отрезок. Концы отрезка включены, однако в этой задаче они корнями не окажутся.
При других целых k значения либо повторяют найденные углы за счёт полного оборота, либо выходят за пределы отрезка. Проверка подстановкой подтверждает, что для обоих углов cos x = 1/2. Ответ: x = π/3; 5π/3.
Тангенс имеет период π и не определён при x = π/2 + πk. Поэтому сначала достаточно рассмотреть участок между соседними точками разрыва, например (−π/2; π/2). На нём график тангенса возрастает, а равенство tg x = 1 выполняется при x = π/4.
Проверка границ показывает, что точка разрыва исключена, а в точке π/4 достигается равенство. Полученные промежутки повторяются для каждого целого k. Ответ: x ∈ (−π/2 + πk; π/4 + πk], k ∈ Z.
Для синуса или косинуса иногда записывают только один угол, забывая второе семейство корней. Ошибка возникает, если смотреть лишь на одно значение обратной функции и не учитывать симметрию единичной окружности. Проверка: найдите все точки с нужной координатой и добавьте периодические сдвиги.
Ещё одна ошибка — применять формулы sin x = a или cos x = a, не проверив |a| ≤ 1. Возможно, ученик помнит формулу, но забывает, что область значений функции ограничена. До вычисления углов сравните число a с границами −1 и 1: за их пределами решений быть не может.
Для тангенса и котангенса иногда указывают период 2π, как у синуса и косинуса. Это пропускает часть корней: отношение синуса и косинуса уже повторяется после π. Самопроверка проста: подставьте x + π вместо x и убедитесь, что значение функции остаётся прежним.
В неравенствах ошибаются, включая точки разрыва или неверно выбирая, включать ли границы. Причина — в том, что знак неравенства проверяют отдельно от области определения функции. Для каждой границы проверьте равенство и знак (< или ≤), а затем убедитесь, что функция в этой точке определена.
Чтобы решать такие уравнения, нужны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса на единичной окружности, а также их области определения и периоды. Эти знания помогают понимать, откуда берутся корни и какие точки исключать. Без них легко перепутать промежутки или потерять решения.
Полезно уметь находить arcsin, arccos и arctg и решать простые уравнения и неравенства. Обратные функции задают основной угол, а знание алгебраических преобразований позволяет привести выражение к стандартному виду. После решения также важно уметь отбирать значения на заданном промежутке.
Простейшие формулы становятся основой для более сложных тригонометрических уравнений и неравенств. В них часто сначала выполняют замену переменной, а затем возвращаются к x и отбирают подходящие корни. Поэтому точная запись общих решений здесь особенно пригодится.
Почему уравнение sin x = a не имеет решений при |a| > 1?
Значения синуса лежат только в промежутке [−1; 1], потому что синус угла — ордината точки единичной окружности. Если |a| > 1, ни один угол не может дать такой синус, поэтому решений нет.
Как записать все корни уравнения cos x = a?
Сначала проверяют условие |a| ≤ 1, затем используют формулу x = ± arccos a + 2πk, где k ∈ Z. Знак ± учитывает два угла с одинаковой абсциссой на окружности, а 2πk — повторение значений косинуса.
Почему период тангенса равен π, а не 2π?
При прибавлении π и синус, и косинус меняют знак. Их отношение tg x = sin x / cos x при этом не меняется, поэтому тангенс повторяет значения через π.
Как решить тригонометрическое неравенство с помощью единичной окружности?
На окружности находят точки, в которых функция удовлетворяет неравенству: например, синус задаёт координату y, а косинус — координату x. Граничные углы определяют из равенства, после чего проверяют, включаются ли они по знаку неравенства и допустимы ли для функции.
Как отобрать корни уравнения, если задан промежуток?
Запишите общее решение уравнения и подставьте в него целые значения k, для которых полученные x попадают в заданный промежуток. Концы промежутка включайте или исключайте в соответствии с квадратными или круглыми скобками.
§ 22. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
