§ 23. Методы решения тригонометрических уравнений

Определения и обозначения

Метод разложения на множители — преобразование уравнения к произведению выражений, после чего каждый множитель приравнивают к нулю. Это полезно, когда общие формулы или группировка позволяют представить сложное уравнение как несколько более простых.

Метод введения новой переменной — замена повторяющихся тригонометрических выражений одной переменной с последующим решением алгебраического уравнения. Например, вместо нескольких sin x можно записать t; такой приём помогает применить знакомые способы решения квадратных уравнений.

Однородное тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень относительно синуса и косинуса. Это свойство позволяет разделить уравнение на степень одной функции и перейти к отношению sin x и cos x, но сначала требуется проверить нули делителя.

Метод вспомогательного угла — представление выражения a sin x + b cos x в виде R sin(x + φ) или R cos(x − φ). Он объединяет два слагаемых в одну функцию, и уравнение становится проще решать по известным формулам.

Как это устроено

Разложение на множители превращает одно уравнение в несколько случаев. Причина в свойстве произведения: оно равно нулю, когда нулём стал хотя бы один множитель. Поэтому после преобразования каждый множитель приравнивают к нулю, решают полученные тригонометрические уравнения, а затем объединяют их решения.

Если в уравнении повторяется sin x, cos x или выражение от них, его можно обозначить новой буквой. Тогда вместо тригонометрической записи часто получается многочлен, к которому применимы алгебраические методы. Но значения синуса и косинуса ограничены отрезком [−1; 1], поэтому корни для новой переменной вне этого промежутка нужно отбросить до обратной замены.

В однородном уравнении одинаковая степень синуса и косинуса позволяет разделить все слагаемые на одну и ту же степень cos x или sin x. Например, отношения sin x/cos x превращаются в tg x, а cos x/sin x — в ctg x. Такое деление разрешено лишь там, где делитель не равен нулю, поэтому случаи cos x = 0 или sin x = 0 сначала проверяют отдельно и подставляют в исходное уравнение.

Линейная комбинация a sin x + b cos x сворачивается в одну синусоиду, потому что формула сложения даёт sin(x + φ) = sin x cos φ + cos x sin φ. Если R = √(a² + b²), то выбор cos φ = a/R и sin φ = b/R обеспечивает нужные коэффициенты: выражение равно R sin(x + φ). После этого остаётся решить уравнение с одной тригонометрической функцией; угол φ выбирают с учётом знаков a и b.

Любой из этих приёмов — только путь к более простому уравнению, а не готовый ответ. Нужно решить полученные уравнения, записать их общие решения с периодом и проверить ограничения, возникшие при замене или делении. Такая проверка нужна, чтобы не добавить недопустимые значения и не потерять корни исходного уравнения.

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Сопоставь вид уравнения с подходящим приёмом, а затем обязательно выполни проверку из последнего столбца. Таблица помогает выбрать начало решения, но не отменяет проверки ограничений и периодичности корней. Если подходят несколько методов, выбирай тот, который даёт более короткие и понятные преобразования.

Разбор задач

1. Решить уравнение sin x(2 cos x − 1) = 0.

1. Левая часть уже записана как произведение двух множителей, а правая равна нулю. Значит, достаточно рассмотреть два случая: sin x = 0 или 2 cos x − 1 = 0.
2. Из первого уравнения получаем x = πk, где k ∈ Z. Во втором случае переносим единицу и делим на 2: cos x = ½.
3. Косинус равен ½ при x = ±π/3 + 2πk, где k ∈ Z. Объединяем решения обоих уравнений, не забывая ни один множитель.

Ответ: x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.

2. Решить уравнение 2 sin² x + 3 sin x − 2 = 0.

1. Синус встречается в первой и второй степени, поэтому обозначим t = sin x. Получаем квадратное уравнение 2t² + 3t − 2 = 0.
2. Разложим многочлен: (2t − 1)(t + 2) = 0. Отсюда t = ½ или t = −2.
3. Поскольку синус не бывает меньше −1 и больше 1, значение t = −2 не подходит. Для оставшегося корня решаем sin x = ½: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

3. Решить уравнение sin x + √3 cos x = 1.

1. В левой части есть линейная комбинация синуса и косинуса. Для коэффициентов 1 и √3 амплитуда R = √(1² + (√3)²) = 2.
2. Нужно выбрать φ так, чтобы cos φ = 1/2 и sin φ = √3/2; подходит φ = π/3. По формуле сложения получаем sin x + √3 cos x = 2 sin(x + π/3).
3. Решаем 2 sin(x + π/3) = 1, то есть sin(x + π/3) = ½. Тогда x + π/3 = π/6 + 2πk или x + π/3 = 5π/6 + 2πk. Вычитая π/3, получаем два семейства корней.

Ответ: x = −π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

• Деление на sin x или cos x без проверки нулей делителя может убрать корни, для которых это выражение равно нулю. Так поступают, потому что деление кажется обычным упрощением. Проверь себя: подставь случаи sin x = 0 или cos x = 0 в исходное уравнение до деления.

• После замены sin x = t иногда оставляют корни квадратного уравнения за пределами [−1; 1]. Причина — забывают, что новая переменная обозначает значение синуса, а не любое число. Сверь каждый найденный t с допустимым диапазоном до решения уравнения для x.

• При разложении произведения могут приравнять к нулю только один множитель. Так происходит, если решение начинают с первого заметного случая и не возвращаются к записи произведения. Для проверки выпиши уравнение для каждого множителя и убедись, что решения всех случаев включены в ответ.

• Ответ иногда записывают без общего периода или с периодом, подходящим другой функции. Это связано с тем, что периоды синуса и косинуса не всегда совпадают с периодом тангенса. Проверь период по исходной простейшей функции и подставь несколько значений из каждой серии в уравнение.

Связь с другими темами

Для решения этих уравнений нужны формулы тригонометрии, значения синуса и косинуса и общие решения простейших уравнений. При делении однородного уравнения на синус или косинус появляются tg x или ctg x, поэтому нужно знать их определения и области допустимых значений. Те же приёмы помогают решать смешанные тригонометрические уравнения и исследовать функции, содержащие тригонометрические выражения.

Что запомнить

• Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю.
• При замене sin x = t или cos x = t учитывай условие −1 ≤ t ≤ 1.
• Перед делением на тригонометрическое выражение проверь, когда оно обращается в ноль.
• Однородность уравнения позволяет разделить его на подходящую степень синуса или косинуса.
• Линейную комбинацию a sin x + b cos x можно свернуть во вспомогательную синусоиду.
• В ответе указывай все серии решений с правильным периодом.