"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Формулы сложения связывают синус или косинус суммы и разности двух углов со значениями функций каждого угла отдельно. Они помогают вычислять тригонометрические значения, преобразовывать выражения и доказывать тождества. Главное — не перепутать знаки: у синуса знак между слагаемыми совпадает со знаком между аргументами, а у косинуса становится противоположным. Формулы верны для любых действительных углов, заданных в градусах или радианах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула синуса суммы — тождество sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, выражающее синус суммы через функции углов α и β. Тождество означает равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Оно нужно, чтобы найти синус суммы, даже если саму сумму неудобно вычислять напрямую.
Формула косинуса суммы — тождество cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Синус и косинус каждого слагаемого здесь известны отдельно, а формула собирает их в значение косинуса суммы. Знак минус относится ко всему произведению sin α sin β.
Формула синуса разности — тождество sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Оно позволяет выразить синус разности углов через синусы и косинусы этих углов. По сравнению с формулой суммы меняется знак второго слагаемого, а первое остаётся прежним.
Формула косинуса разности — тождество cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Она нужна, когда требуется найти косинус разности по значениям функций отдельных углов. В отличие от формулы косинуса суммы, здесь между произведениями стоит плюс.
Представить связь формул с геометрией помогает единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точка, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α; sin α): косинус задаёт горизонтальную координату, синус — вертикальную. Если повернуть эту точку ещё на угол β, получится точка, соответствующая сумме α + β. Координаты после поворота выражаются через прежние координаты и cos β, sin β, поэтому возникают произведения синусов и косинусов.
Именно поворот объясняет устройство формул, а не только их вид. Новая вертикальная координата складывается из вкладов прежних горизонтальной и вертикальной координат, откуда в синусе суммы появляются cos α sin β и sin α cos β. Для горизонтальной координаты один из вкладов вычитается: поэтому в косинусе суммы между произведениями стоит минус. Так координаты повернутой точки одновременно дают геометрический смысл равенств.
Формулы разности удобно получить из уже известной формулы суммы: α − β можно записать как α + (−β). Косинус чётный, то есть cos(−β) = cos β, поэтому при замене аргумента его значение не меняется. Синус нечётный: sin(−β) = −sin β, поэтому слагаемое с синусом β меняет знак. Так из формул суммы получаются обе формулы разности без отдельного вывода.
Правило знаков можно вывести из четырёх равенств, а затем использовать как проверку. В формуле синуса при аргументе α + β стоит плюс, а при α − β — минус: знак между слагаемыми повторяет знак между аргументами. У косинуса наоборот: сумме соответствует минус, разности — плюс. Это правило помогает восстановить нужный знак, но порядок множителей всё равно следует проверять отдельно.
Буквы α и β могут обозначать любые действительные числа, а не только острые углы или углы из таблицы. Поэтому тождества действуют и для отрицательных аргументов, больших углов и радианной меры. Чтобы найти значение функции неудобного угла, представьте его как сумму или разность углов, чьи синусы и косинусы известны. Например, 75° = 45° + 30°; формула превращает sin 75° в выражение с табличными значениями.
| Аргумент | Синус | Косинус |
|---|---|---|
| α + β | sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β | cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β |
| α − β | sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β | cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β |
Найдите в первом столбце нужный аргумент, затем выберите столбец синуса или косинуса. Перед подстановкой сверьте знак и порядок множителей с формулой в соответствующей ячейке. После этого замените функции углов их известными значениями и выполните вычисления.
Задача 1. Вычислите sin 75°, представив 75° как сумму двух известных углов. Угол 75° удобно разложить на 45° и 30°: значения синуса и косинуса этих углов известны. Поскольку ищем синус суммы, перед вторым слагаемым формулы будет плюс.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4. Оба слагаемых положительны, что согласуется с расположением угла 75° в первой четверти. Такой взгляд на знак служит дополнительной проверкой вычисления.
Задача 2. Вычислите cos 15°, представив 15° как разность известных углов. Подойдёт разложение 15° = 45° − 30°. Ищем косинус разности, поэтому формула содержит плюс между произведениями, хотя в аргументе стоит минус.
Ответ: cos 15° = (√6 + √2)/4. Здесь важно не переносить знак минус из аргумента прямо между слагаемыми: у косинуса знак меняется на противоположный. Результат положителен, поскольку 15° — угол первой четверти.
Задача 3. Упростите выражение sin(x + π/3) − sin x и найдите его значение при x = π/6. Сначала раскроем синус суммы, а затем соберём слагаемые, содержащие sin x. После упрощения подставим значение x; π/3 и π/6 уже заданы в радианах, поэтому переходить к градусам не требуется.
Ответ: выражение упрощается до (√3 cos x − sin x)/2, а при x = π/6 равно 1/2. Проверка подстановки показывает, что оба значения взяты в радианах. При приведении подобных слагаемых знак минус перед sin x сохраняется.
В формуле косинуса суммы иногда ставят плюс: cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β. Ошибка возникает, если механически переносить правило синуса на косинус. Проверьте себя по формуле или единичной окружности: для косинуса суммы нужен минус, а для косинуса разности — плюс.
В формуле синуса разности могут поменять знаки у обоих слагаемых. На деле первое слагаемое sin α cos β не меняется, а минус появляется только перед cos α sin β. Чтобы проверить запись, замените β на −β в формуле суммы и используйте чётность косинуса и нечётность синуса.
Порядок множителей тоже легко перепутать: например, вместо cos α sin β записать sin α cos β. Хотя умножение чисел перестановочно, здесь функции относятся к разным углам, поэтому такая замена обычно меняет значение. Сверяйте каждый множитель с формулой: у слагаемого синуса суммы один вид — sin α cos β, второй — cos α sin β.
Ещё одна ошибка — подставлять углы в градусах, а табличные значения выбирать для радиан, будто меры совпадают. Она появляется из-за привычки читать обозначение угла не полностью. Перед вычислением проверьте записи: например, 30° соответствует π/6, а не 30 радианам; все аргументы и значения должны относиться к одной мере.
Для понимания формул нужны определения синуса и косинуса, координаты точки на единичной окружности, а также чётность косинуса и нечётность синуса. На этих свойствах основаны геометрический смысл сложения углов и переход от суммы к разности. Формулы затем помогают вычислять тригонометрические значения, упрощать выражения и доказывать тождества. Позже их используют при выводе формул двойного и половинного аргументов.
Почему в формуле косинуса суммы появляется минус?
При повороте точки на единичной окружности координаты преобразуются так, что произведение синусов входит в выражение для новой горизонтальной координаты со знаком минус. Горизонтальная координата точки соответствует косинусу, поэтому cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
Как запомнить, где в формулах синуса и косинуса ставить плюс или минус?
В формулах синуса знак между слагаемыми такой же, как знак между аргументами. В формулах косинуса он противоположный: сумма аргументов даёт минус, разность — плюс.
Чем формула синуса разности отличается от формулы синуса суммы?
В формуле разности перед вторым слагаемым стоит минус: sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. В формуле суммы перед ним стоит плюс; первое слагаемое в обоих случаях одинаковое.
Можно ли применять формулы сложения, если углы заданы в радианах?
Да, формулы работают и с радианами, и с градусами. Нужно лишь следить, чтобы оба угла и табличные значения были выражены в согласованной мере.
Как выбрать разложение угла, чтобы вычислить его синус или косинус?
Представьте угол суммой или разностью углов, для которых известны синусы и косинусы, например 30°, 45° и 60° или π/6, π/4 и π/3. Выбирайте разложение, при котором значения и знаки проще подставить.
§ 24. Синус и косинус суммы и разности аргументов
