"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Тангенс суммы и разности позволяет находить значение tg(α + β) или tg(α − β), зная тангенсы отдельных углов. Формулы особенно полезны, когда угол удобно разложить на сумму или разность знакомых углов, а также при преобразовании тригонометрических выражений и уравнений. Главное — правильно выбрать знаки: в знаменателе формулы суммы стоит минус, а разности — плюс. Кроме того, нужно проверить, что тангенсы отдельных углов существуют и знаменатель формулы не равен нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тангенс суммы аргументов — это тангенс угла, полученного сложением двух углов: tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β). Он существует, когда cos(α + β) ≠ 0, то есть α + β ≠ π/2 + πk, где k ∈ Z. Это определение помогает отличать существование тангенса итогового угла от существования тангенсов каждого слагаемого.
Тангенс разности аргументов определяется как tg(α − β) = sin(α − β) / cos(α − β). Он существует, если cos(α − β) ≠ 0, или, что равносильно, α − β ≠ π/2 + πk при любом целом k. Такое условие нужно проверять, чтобы не приписать значение выражению, которое не определено.
Формула тангенса суммы выражает tg(α + β) через тангенсы углов α и β: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β). Она применима, если tg α и tg β существуют, а знаменатель не равен нулю. Благодаря ей можно вычислять тангенс нового угла по значениям для более простых углов.
Формула тангенса разности записывается так: tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β). Для её использования нужны существующие tg α и tg β и ненулевой знаменатель 1 + tg α · tg β. Формула позволяет заменить тангенс разности вычислениями с известными значениями.
Вывод обеих формул начинается с равенства tg x = sin x / cos x. Для суммы подставляем формулы sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β и cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Затем делим числитель и знаменатель на cos α cos β, который не равен нулю, поскольку существуют tg α и tg β. В числителе появляются tg α + tg β, а в знаменателе — 1 − tg α · tg β.
Для разности используются равенства sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β и cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. После деления на cos α cos β числитель становится tg α − tg β, а знаменатель — 1 + tg α · tg β. Поэтому знак перед произведением в знаменателе противоположен знаку между углами в названии формулы. Это не произвольное правило, а результат знаков в формулах синуса и косинуса разности.
Для применимости формулы должны существовать оба тангенса отдельных углов: cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0. Также правая часть должна быть определена, поэтому для суммы требуется 1 − tg α · tg β ≠ 0, а для разности — 1 + tg α · tg β ≠ 0. Если соответствующий знаменатель равен нулю, то cos(α ± β) = 0, следовательно, тангенс итогового угла не существует. Так одновременно проверяется и область определения левой части.
Сначала определите, какой знак стоит между углами: плюс или минус. Этот знак оставьте в числителе, а в знаменателе поставьте противоположный: сумма — минус, разность — плюс. Например, для tg(α − β) нельзя записывать в числителе сумму тангенсов или ставить минус перед их произведением в знаменателе. Полезно перед подстановкой отдельно выписать шаблон формулы и только потом заменять обозначения числами.
Чтобы вычислить тангенс сложного угла, попробуйте представить его как сумму или разность углов, тангенсы которых известны. Например, π/12 удобно записать как π/4 − π/6: значения tg(π/4) и tg(π/6) легко найти. После выбора разложения подставьте значения в нужную формулу и проверьте знаменатель. Если можно выбрать несколько разложений, берите то, где вычисления проще и нет нулевого знаменателя.
| Выражение | Формула | Условия применимости |
|---|---|---|
| tg(α + β) | (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β) | tg α и tg β существуют; 1 − tg α · tg β ≠ 0 |
| tg(α − β) | (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β) | tg α и tg β существуют; 1 + tg α · tg β ≠ 0 |
Сначала выберите строку по знаку между аргументами, затем проверьте, что тангенсы отдельных углов определены. После подстановки обязательно убедитесь, что знаменатель не равен нулю. Только тогда вычисление даёт значение тангенса итогового угла.
Задача 1. Вычислить tg(π/4 − π/6). Угол записан как разность двух стандартных углов, поэтому подходит формула тангенса разности. При этом tg(π/4) = 1, а tg(π/6) = 1/√3; знаменатель получится положительным и ненулевым.
Ответ: 2 − √3. Проверка знака полезна: π/4 − π/6 — положительный угол меньше π/4, поэтому его тангенс должен быть положительным и меньше 1. Полученное число этому соответствует.
Задача 2. Известно, что tg α = 1/2 и tg β = 1/3. Нужно найти tg(α + β) и tg(α − β). Здесь достаточно подставить данные в обе формулы, но важно проверить каждое деление. Знаменатели будут ненулевыми, значит, оба результата определены.
Ответ: tg(α + β) = 1, tg(α − β) = 1/7. Оба знаменателя исходных дробей ненулевые: 5/6 и 7/6. Поэтому формулы применимы в обоих случаях.
Задача 3. Решить уравнение tg(x + π/4) = 2. Чтобы найти x, используем формулу суммы и обозначим tg x через t. Но формула потребует существования tg x, а исходное уравнение запрещает значения, при которых x + π/4 = π/2 + πk; ограничения нужно учесть в конце.
Ответ: x = arctg(1/3) + πk, k ∈ Z. Период равен π, потому что тангенс повторяет значения через π. Проверка исходного ограничения нужна, поскольку преобразование уравнения не должно добавлять недопустимые значения.
Ошибка 1 — перепутать знак в знаменателе: поставить минус для разности или плюс для суммы. Так происходит, когда запоминают формулы без связи с выводом. Проверяйте шаблон: знак в числителе совпадает со знаком между углами, в знаменателе — противоположный.
Ошибка 2 — использовать формулу, не проверив её знаменатель. Если он равен нулю, деление невозможно, хотя оба отдельных тангенса могут существовать. Перед вычислением подставьте значения и убедитесь, что знаменатель не обращается в ноль.
Ошибка 3 — считать, что достаточно существования tg α и tg β. Тангенс итогового угла тоже может быть не определён, если соответствующий знаменатель формулы равен нулю. Проверяйте все условия: тангенсы частей существуют, знаменатель ненулевой; тогда итоговый тангенс также определён.
Ошибка 4 — неверно разложить угол на сумму или разность знакомых углов. Например, перестановка углов меняет знак разности: α − β не равно β − α. Перед подстановкой проверьте, что выбранные углы действительно дают исходный аргумент, и сохраните их порядок.
Для изучения этих формул нужны определение тангенса и формулы синуса и косинуса суммы и разности: именно из них выводятся правила. Формулы помогают вычислять значения тригонометрических выражений, а также преобразовывать уравнения и тождества. Если в формулах суммы положить α = β, получится формула двойного угла для тангенса: tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α), при условии что выражение определено.
Почему в формуле тангенса суммы в знаменателе стоит минус?
При делении формулы синуса суммы на формулу косинуса суммы в знаменателе появляется cos α cos β − sin α sin β. Если вынести cos α cos β, получим множитель 1 − tg α · tg β. Поэтому в формуле суммы стоит минус.
Как быстро запомнить знаки в формулах суммы и разности?
В числителе знак совпадает со знаком между аргументами: для суммы — плюс, для разности — минус. В знаменателе знак меняется на противоположный: для суммы — минус, для разности — плюс.
Можно ли применять формулу, если знаменатель равен нулю?
Нет, делить на ноль нельзя, поэтому правая часть формулы не определена. При существующих tg α и tg β нулевой знаменатель также означает, что косинус итогового угла равен нулю и его тангенс не существует.
Обязательно ли сначала находить tg каждого слагаемого отдельно?
Чтобы подставить значения в формулу, тангенсы отдельных углов должны быть известны или вычислены. Иногда их значения сразу очевидны, например tg(π/4) = 1, поэтому отдельные вычисления можно не расписывать.
Как подобрать сумму или разность углов для вычисления тангенса?
Представьте нужный угол как сумму или разность углов, тангенсы которых известны: например, π/12 = π/4 − π/6. Выбирайте разложение, при котором значения отдельных тангенсов легко получить, и затем проверьте знаменатель формулы.
§ 25. Тангенс суммы и разности аргументов
